معلومات عن الجذور التربيعية

ما هي الجذور التربيعية؟

يتم تعريف الجذر التربيعي (Square root) في الرياضيات على أنه عامل العدد الذي يضرب في نفسه ليعطي العدد الأصلي، فعلى سبيل المثال، يعد كل من العددين 3 و-3 الجذور التربيعية للعدد 9 لأن حاصل ضرب كل منهما بنفسه يعطي العدد 9.[١]

من أول من استخدم الجذر التربيعي؟

لا يعرف أحد من اخترع الجذر التربيعي، ولكن يعتقد بأن أصل الجذور التربيعية عائد إلى تقسيم الأراضي إلى مساحات مربعة ذات أطوال أضلع متساوية، بحيث يرجع الفضل في ذلك إلى البابليين واليونانيين الذين اكتشفوا طريقة هيرون الشبيهة بطريقة نيوتن التكرارية،[٢] حيث اكتشف البابليون طرقًا فعالةً لتقريب الجذور التربيعية في بدايات الألفية الثانية قبل الميلاد،[١] وفيما يأتي بعض المحطات التاريخية للجذور التربيعية:

• 1650 قبل الميلاد: اكتشف المصريون طريقة حساب الجذر التربيعي بطريقة التناسب العكسي.[٢]
• 200 قبل الميلاد: قام الصينيون بحساب قيمة الجذر التربيعي بطريقة الفائض والنقص.[٢]
• 1450 بعد الميلاد: قام العالم رجيومونتانوس بوضع رمز للجذر التربيعي على شكل حرف (R).[٢]
• 1525 بعد الميلاد: استخدم رمز الجذر التربيعي √ لأول مرة في الطباعة.[٢]
• 1669 بعد الميلاد: بدأت طريقة نيوتن لحساب الجذر التربيعي على يد إسحاق نيوتن.[٣]

يعود الفضل في حساب الجذور التربيعة للبابليين واليونانيين، ثم مرت الجذور التربيعية بعدد من مراحل التطور عبر الزمن، والتي مرت بإيجاد طرق لحساب الجذر وتطوير الرمز المستخدم لها.

ما هي معادلة الجذر التربيعي؟

يعد الجذر التربيعي لعدد ما هو القيمة التي تضرب بذاتها لتنتج ذلك العدد، ويتم التعبير عن الجذر التربيعي من خلال المعادلة الآتية:[٤]

القيمة ص تساوي الجذر التربيعي للعدد س

ص = س√

بحيث يكون الرمز “√” رمز الجذر التربيعي، وص هو العدد الذي مربعه يساوي س.

يتم حساب الجذر التربيعي بطرق مختلفة ومتنوعة، لمعرفة الطرق بالتفصيل يمكنك الاطلاع على المقال الآتي: طريقة حساب الجذر التربيعي.

ما أبرز استخدامات الجذور التربيعية؟

يدخل استخدام الجذور التربيعية في عدد من المجالات المختلفة، فيما يأتي أبرزها:

• نظرية فيثاغورس: والتي تستخدم في إيجاد أطوال أضلع المثلثات قائمة الزاوية، والتي تنص على أن ناتج جمع مربعي ضلعي الزاوية القائمة تساوي مربع الوتر، ويستخدم الجذر التربيعي في إيجاد طول الضلع المجهول للتخلص من تربيع الضلع.[٥]

• ميكانيكا الكم: تستخدم الجذور التربيعية وخاصةً الجذر التربيعي للعدد -1 في ميكانيكا الكم، فهو يستخدم في ميكانيكا المصفوفات وقوس بويسون ومعادلة شرودنجر.[٦]

• الانحراف المعياري: يستخدم الجذر التربيعي في حساب الانحراف المعياري للبيانات الإحصائية والذي يعبر عن مقدار تشتت هذه البيانات، حيث إن قانون الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي لقيمة التباين لمجموعة البيانات ذاتها.[٧]

• نصف قطر الدائرة: يمكن استخدام الجذور التربيعية في إيجاد قيمة نصف القطر لدائرة ذات مساحة معروفة، وذلك عن طريق قسمة المساحة على الثابت باي ومن ثم أخذ الجذر التربيعي للقيمة الناتجة.[٨]

• حل المعادلات التربيعية: تستخدم الجذور التربيعية في حل صيغ مختلفة من المعادلات التربيعية عن طريق أخذ الجذر التربيعي للطرفين في إحدى خطوات الحل، بحيث يستخدم لحل المعادلات ذات الصيغة: أس^2 = جـ، أ(س – ب)^2 = جـ.[٩]

تستخدم الجذور التربيعية في العديد من المجالات، فهي تدخل في نظرية فيثاغورس وميكانيكا الكم وإيجاد قيم الانحراف المعياري ونصف قطر الدائرة، كما أنها تستخدم في حل المعادلات التربيعية.

هل يمكن إيجاد الجذر التربيعي للعدد السالب؟

يمكن إيجاد الجذور التربيعية لجميع الأعداد الموجبة، بحيث دائمًا ما يكون الناتج عددين لهما نفس القيمة ويختلفان في الإشارة، فالجذر التربيعي للعدد 25 هو موجب وسالب العدد 5، أما بالنسبة للأعداد السالبة فلا يوجد جذور تربيعية للأعداد الحقيقية السالبة، ولكن تم تضمين عدد خيالي واحد ليحل هذه المشكلة، وهو العدد “i”، بحيث يكون مربع هذا العدد يساوي -1، ويتم ضرب هذا الرقم الخيالي بأي عدد حقيقي لتكوين جذور الأعداد السالبة، ويستخدم هذا العدد الخيالي في الأعداد المركبة التي تمتلك الصيغة العامة ” أ + ب×i”، بحيث يكون الرمزان أ وب أعداد حقيقية، ويمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة كغيرها من الأعداد الحقيقية.[١٠]

أمثلة على إيجاد الجذر التربيعي للعدد السالب

يمكن إيجاد الجذر التربيعي للأعداد السالبة بنفس طريقة إيجاد الجذر التربيعي للأعداد الموجبة، ولكن يمكن الفرق بينهما أن جذور الأعداد السالبة غير حقيقية، وفيما يأتي بعض الأمثلة على طريقة إيجاد الجذر التربيعي للعدد السالب:[١١]

• مثال 1: ما هو الجذر التربيعي للعدد -9؟

(-9)√ = (-1 × 9)√ = (-1)√ × (9)√ = 3i

وتكون الصيغة العامة لهذا العدد المركب: 0 + 3i

• مثال 2: ما هو الجذر التربيعي للعدد -24؟

(-24)√ = (-1 × 24)√ = (-1 × 6 × 4)√ = (-1)√ × (6)√ × (4)√ = 0+ (6)√2i

• مثال 3: ما هو الجذر التربيعي للعدد -25؟

(-25)√ = (-1 × 25)√ = (-1)√ × (25)√ = 5i

يمكن إيجاد قيمة الجذور التربيعية للأعداد السالبة عن طريق استخدام العدد الخيالي (i)، والذي يساوي قيمة الجذر التربيعي للعدد (-1).

ما هي أهم خصائص الجذور التربيعية؟

حتى تستخدم الجذور التربيعية بالطريقة المناسبة لا بد من معرفة خصائصها التي يمكن أن تستخدم في عمليات التبسيط، وفيما يأتي أهم هذه الخصائص:

• خاص ية الضرب للجذور التربيعية: يمكن توزيع الجذر التربيعي على الأعداد المضروبة ببعضها البعض تحت الجذر، حيث إن إجراء عملية الضرب أولًا أو إيجاد قيمة الجذر للأعداد التي أسفله تنتج نفس القيمة، ويمكن توزيع الجذر عند الضرب حسب القاعدة الآتية:[١٢]

(س × ص)√ = (س)√ × (ص)√

مثال على خاص ية الضرب:

(16 × 9)√ = (4^2)√ × (3^2)√ = 4 × 3 = 12

• خاص ية القسمة للجذور التربيعية: يمكن توزيع الجذر التربيعي على الأعداد المقسومة على بعضها البعض تحت الجذر، حيث يتم توزيع الجذر التربيعي على البسط والمقام وذلك حسب القاعدة الآتية:[١٢]

(س ÷ ص)√ = (س)√ ÷ (ص)√

مثال على خاص ية القسمة:

(25 ÷ 9)√ = (5^2)√ ÷ (3^2)√ = 5 ÷ 3

• خاص ية جمع الجذور التربيعية: لا يمكن توزيع الجذور التربيعية على عملية الجمع، إذ الناتج سيكون خاطئًا، ولهذا يجب القيام بعمليات الجمع داخل الجذور التربيعية أولًا.[١٢]

(س + ص)√ ≠ (س)√ + (ص)√

مثال على خاص ية الجمع:

(16 + 9)√ = (25)√ = 5

• خاص ية طرح الجذور التربيعية: لا يمكن توزيع الجذور التربيعية على عملية الطرح، إذ الناتج سيكون خاطئًا، ولهذا يجب القيام بعمليات الطرح داخل الجذور التربيعية أولًا.[١٢]

(س – ص)√ ≠ (س)√ – (ص)√

مثال على خاص ية الطرح:

(169 – 25)√ = (144)√ = 12

• خاص ية الضرب الجذور التربيعية بالمرافق: عند ضرب الجذور التربيعية بمرافقها فإن الناتج سيكون ناتج طرح الأعداد تحت الجذور، وذلك حسب القاعدة الآتية:[١٣]

((س)√ – (ص)√) * ((س)√ + (ص)√) = س – ص

مثال على خاص ية الضرب بالمرافق:

((5)√ – (3)√) * ((3)√ + (5)√) =

(3 × 3)√ + (5 × 3)√ + (3 × 5)√ – (5 × 5)√- =

(9)√ + (15)√ + (15)√ – (25)√- =

3 + 5- = (-2)

تختلف خصائص الجذور التربيعية باختلاف العمليات الرياضية التي يتم إجرائها عليها، إذ توزع الجذور على عمليات الضرب والقسمة أسفلها، ولكنها لا توزع على عمليات الجمع والطرح، بالإضافة إلى أن ناتج ضرب الجذر بمرافقه يساوي ناتج طرح الأعداد تحت الجذور.

ما هي العملية العكسية للجذر التربيعي؟

تعد عملية التربيع (Squaring) هي العملية العكسية للجذور التربيعية، ويعني التربيع أن يتم رفع القيمة للقوة أو الأس 2، أي ضرب القيمة بذاتها،[١٤] وفيما يأتي معادلة العملية العكسية للجذر التربيعي:[١٥]

تربيع الجذر التربيعي لعدد ما = العدد نفسه.

2^((س)√) = س

أمثلة على العملية العكسية للجذر التربيعي

يمكن أن تستخدم العملية العكسية للجذر التربيعي في حل بعض أنواع المعادلات، والتي تشمل أعدادًا حقيقية موجبة وسالبة بالإضافة إلى أعداد خيالية، وفيما يأتي بعض الأمثلة على العملية العكسية للجذر التربيعي:

• مثال 1: تربيع الأعداد الموجبة:[١٦]

2^7 = 49

• مثال 2: تربيع الأعداد السالبة:[١٦]

2^7- = 49

• مثال 3: تربيع الأعداد المركبة:[١٧]

i^2= -1

• مثال 4: تربيع الأعداد المركبة:[١٨]

4i + 3-)^2 )

= 7 – 24i-

وذلك عن طريق ضرب العدد بذاته ثم استبدال i^2 بالعدد -1.

(4i – 3) * (4i – 3)

= 16i^2 – 12i -12i +9

= 9 + 2^(24i + 16(i-

= 9 + -1 × 24i + 16-

= 9 + 24i – 16-

= 7 – 24i-

تعد عملية التربيع هي العملية العكسية للجذر التربيعي، إذ إن رفع القيمة للقوة 2 يساوي ضرب القيمة بنفسها.

المراجع[+]

1. ^ أ ب “Square root”, britannica, Retrieved 24/12/2020. Edited.
2. ^ أ ب ت ث ج “Discovering perfect squares and building square roots”, researchoutreach, Retrieved 24/12/2020. Edited.
3. ↑ “Newton Method”, cmu, Retrieved 24/12/2020. Edited.
4. ↑ “Square Root Properties”, lanecc, Retrieved 25/12/2020. Edited.
5. ↑ “The Pythagorean Theorem “, montereyinstitute, Retrieved 25/12/2020. Edited.
6. ↑ “The mystery of square root of minus one in quantum mechanics, and its demystification”, researchgate, Retrieved 25/12/2020. Edited.
7. ↑ “Variance and Standard Deviation”, uhv, Retrieved 25/12/2020. Edited.
8. ↑ “Radius or Diameter of a Circle Given Area”, ck12, Retrieved 25/12/2020. Edited.
9. ↑ “Solve Quadratic Equations Using the Square Root Property”, libretexts, Retrieved 25/12/2020. Edited.
10. ↑ ” Complex Numbers”, mit, Retrieved 25/12/2020. Edited.
11. ↑ “Complex Numbers”, libretexts, Retrieved 25/12/2020. Edited.
12. ^ أ ب ت ث ” Square Root Properties”, lanecc, Retrieved 25/12/2020. Edited.
13. ↑ “Square Roots and Other Radicals”, uis, Retrieved 25/12/2020. Edited.
14. ↑ “Square roots review”, khanacademy, Retrieved 25/12/2020. Edited.
15. ↑ “Roots of Real Numbers”, whatcom, Retrieved 25/12/2020. Edited.
16. ^ أ ب “Squares, roots and powers”, open, Retrieved 25/12/2020. Edited.
17. ↑ “COMPLEX NUMBERS”, oakton, Retrieved 25/12/2020. Edited.
18. ↑ “Complex Numbers and Powers of i”, mcckc, Retrieved 25/12/2020. Edited.