الخصائص الرياضية لشبه المنحرف

شبه المنحرف

ما أبرز خصائص شبه المنحرف؟

شبه المنحرف يعد واحدًا من الأشكال الهندسية المعروفة في الرياضيات الهندسية، ويُعرف شبه المنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) بأنه شكل هندسي رباعي الأضلاع، يحتوي على ضلعين متوازيين وآخرين غير متوازيين، يسمى الضلعان المتوازيان بقاعدتي شبه المنحرف؛ القاعدة العلوية والقاعدة السفلية وعادة ما تكون القاعدة السفلية أطول من القاعدة العلوية، بينما يسمى الضلعان غير المتوازيين والمائلين بساقي شبه المنحرف، ويعرف ارتفاع شبه المنحرف بالخط العمودي الواصل بين القاعدتين[١].

ويسمى الخط الذي يصل بين نقاط المنتصف لساقي شبه المنحرف بالخط المتوسط، إذ يوازي الخط قاعدتي شبه المنحرف ويساوي طوله نصف طول مجموعها، ويستخدم في حساب مساحة شبه المنحرف[٢]، أما محيطه فهو مجموع أطوال أضلاعه، ويمتاز شبه المنحرف بالعديد من الخصائص الرياضية، فكما ذكر سابقًا قاعدتاه متوازيتان وكأي شكل رباعي آخر تساوي مجموع زواياه 360 درجة[١]، ولشبه المنحرف تطبيقات عديدة في الهندسة والعمارة والفنون وغيرها وفيما يلي في هذا المقال تفصيل أكثر لأنواعه وخصائصه الرياضية.[٣]

ما هي أنواع شبه المنحرف؟

يعد شبه المنحرف شكل رباعي مغلق منتظم وله ضلعين متوازيين، كما أن له أنواعًا مختلفة ولكل نوع من أنواع شبه المنحرف خصائص ومميزات تختلف عن النوع الآخر، وفيما يلي تفصيل أكثر لأنواعه، والتي هي كالآتي:[١]

شبه منحرف قائم الزاوية (right trapezoid)

شبه المنحرف قائم الزاويا أحد أنواع شبه المنحرف، وأهم ما يميز هذا النوع هو احتوائه على زاوية قائمة تساوي “90” ناتجة عن تقاطع القاعدة مع الساق.

شبه المنحرف حاد الزاوية (acute trapezoid)

يعد شبه المنحرف حاد الزاوية ثاني أنواع شبه المنحرف، وأهم ما يميز هذا النوع هو وجود زاويتين حادتين ناتجتين عن تقاطع أطراف القاعدة مع ساقي شبه المنحرف، إذ يكون قياس كل زاوية أقل من “90” درجة.

شبه المنحرف منفرج الزاوية (obtuse trapezoid)

ويعد شبه المنحرف منفرج الزاوية ثالث الأنواع، إذ يحتوي زاوية واحدة منفرجة ناتجة عن تلاقي القاعدة مع أحد الساقين، وتكون قيمة هذا الزاوية أكبر من “90” درجة.

شبه منحرف متساوي الساقين (isosceles trapezoid)

أما شبه المنحرف متساوي الساقين فهو رابع الأنواع والذي يتميز بوجود ساقين متساويين في الطول، كما يحتوي قاعدتين متوازيتين إلا أنهما غير متساويتين في الطول.

شبه منحرف مختلف الأضلاع (Scalene trapezoid)

وآخر الأنواع هو شبه المنحرف مختلف الأضلاع، وهذا النوع يحتوي على أربعة أضلاع لا تتساوي في الطول، يوجد اثنين منهما يشكلان قاعدتين متوازيتين إلا أنهما غير متساويتين في الطول أيضًا.

ما هي الخصائص الرياضية لشبه المنحرف؟

يتميز شبه المنحرف بالعديد من الخصائص الرياضية التي تميزه عن بقية الأشكال الهندسية، وفيما يلي بعض الخصائص الرياضية لشبه المنحرف التي تشترك بها جميع أنواعه والتي يستثنى منها متساوي الساقين حيث سيتم تفصيله فيما بعد، ومن خصائص شبه المنحرف الرياضية ما يأتي: [٤]

• قاعدتا شبه المنحرف متوازيتان.[١]
• مجموع زوايا شبه المنحرف 360 درجة كأي شكل رباعي آخر.[١]
•  كل زاويتين متجاورتين مجموعهما 180 درجة، أي أن مجموع زوايا القاعدة السفلية أو العلوية يساوي 180 درجة.[١]
• يسمى الخط الذي يصل بين نقاط المنتصف لساقي شبه المنحرف الخط المتوسط، إذ يوازي الخط قواعد شبه المنحرف ويساوي طوله نصف طول مجموعها.[٢]
• الزاوية بين الساق والقطر تساوي الزاوية بين الساق المقابل والقطر نفسه.[٤]
• تقطع الأقطار الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات متشابهة.[٤]
• تقع نقطة تقاطع قطري شبه المنحرف على استقامة واحدة مع نقطة منتصف الأضلاع المتقابلة.[٤]

ما هي الخصائص الرياضية لشبه المنحرف متساوي الساقين؟

يتميز شبه المنحرف متساوي الساقين بالعديد من الخصائص الرياضية، وفيما يلي بعض الخصائص الرياضية المميزة لشبه المنحرف متساوي الساقين:[٥]

• قاعدتاه متوازيتان وغير متساويتين في الطول.
• ضلعاه الغير متوازيين (الساقين) متساويان في الطول.
• زوايا قاعدتيه متطابقة؛ أي أن زوايا القاعدة العلوية متساوية القياس وزوايا القاعدة السفلية متساوية القياس أيضًا.
• أقطاره متساوية في الطول.

أقطار شبه المنحرف وارتفاعه

تسمى المسافة الواصلة بين كل رأسين متقابلين في أي شكل هندسي رباعي بالقُطر، وللأقطار حسابات وقوانين مختلفة، ولحساب أطوال أقطار شبه المنحرف تُطبق القوانين الآتية:

ما هي قوانين أقطار شبه المنحرف؟

• القانون الأول: باستخدام أطوال أضلاع شبه المنحرف (أ ب جـ د)، يمكن استخدام هذا القانون لحساب طول القطر:[٦]

(ق1)= الجذر التربيعي للقيمة ((أ×ب² – أ²×ب – أ×ج² + ب×د²)/ (ب-أ))

حيث إن (ق1) هو القطر الأول الذي يمتد من اليسار إلى اليمين.

(ق2)= الجذر التربيعي للقيمة ((أ×ب² – أ²×ب – أ×د² + ب×ج²)/ (ب-أ))

حيث إن (ق2) هو القطر الثاني الذي يمتد من اليمين إلى اليسار.

• القانون الثاني: باستخدام طول القاعدتين السفلية والعلوية، والزاوية المحصورة بين القاعدة والساق لشبه المنحرف (أ ب ج د)، يمكن استخدام هذا القانون:[٧]

طول قطره الأول (أج)= الجذر التربيعي للقيمة ((أ ب)² + (ب ج)² − 2×(أ ب)(ب ج)×جتا (الزاوية المحصورة بينهما)).

طول قطره الثاني (ب د)= الجذر التربيعي للقيمة ((د ج)² + (أد)² − 2×(د ج)(أ د)×جتا(الزاوية المحصورة بينهما)).

• القانون الثالث: يستخدم هذا القانون لإيجاد مجموع مربع القطرين معًا باستخدام أطوال أضلاع شبه المنحرف (أ ب جـ د)، وعليه فإن: [٨]

(أج)²+ (ب د)²= أب² + ج د² +(2أدب ج)

حيث إن:

• أج: طول القطر الأول.
• ب د: طول القطر الثاني.
• أب: طول الساق من الجهة اليمنى.
• ج د: طول الساق من الجهة اليسرى.
• أد: طول القاعدة العلوية.
• ب ج: طول القاعدة السفلية.

كيف يمكن حساب ارتفاع شبه المنحرف؟

أما المسافة العمودية الواصلة بين قاعدتي شبه المنحرف فيمكن تعريفها بارتفاع شبه المنحرف، بحيث تصنع هذه المسافة زاوية قائمة مع كلا قاعدتيه[١]، ولحساب ارتفاع شبه المنحرف تُطبق القوانين الآتية:

• القانون الأول: يستخدم في هذا القانون أطوال أضلاع شبه المنحرف الأربعة، ونصف قيمة محيطه الذي يساوي مجموع أطوال أضلاعه، باستخدام الصيغة الآتية:[٦]

ع=2× الجذر التربيعي للقيمة((س-أ)×(س-ب)×(س-ب-ج)×(س-ب-د)) / ( |ب – أ|)

حيث إن:

• س: نصف محيط شبه المنحرف.
• أ: طول القاعدة العلوية.
• ب: طول القاعدة السفلية.
• ج: طول الساق الأولى.د: طول الساق الثانية.

• القانون الثاني:باستخدام طول أحد ساقيه والزاوية المحصورة بين الساق والقاعدة السفلية، وعليه ينص القانون على: [٧]

الارتفاع= طول أحد الساقين × جا(الزاوية المحصورة بين الساق والقاعدة السفلية)

الارتفاع= ج × جا(س)

• القانون الثالث: باستخدام طول قاعدتيه ومساحته يمكن حساب ارتفاعه، وعليه ينص القانون على:[٦]

الارتفاع= 2× مساحة شبه المنحرف / مجموع طول القاعدتين

الارتفاع= 2×م / (أ+ب)

ما هو قانون مساحة شبه المنحرف؟

كأي شكل رباعي آخر، لشبه المنحرف خصائص متنوعة يمكن من خلالها حساب المساحة أو المحيط أو غيرها من الحسابات، ويمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف عن طريق مجموعة من القوانين، وهي:

• القانون الأول:يُستخدم في هذا القانون طول القاعدتين والارتفاع، وعليه فإن:[٦]

مساحة شبه المنحرف = ½ × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع

مساحة شبه المنحرف = ½ × ( أ+ب) × ع

ويمكن من خلال هذا القانون اشتقاق صيغة أخرى لحساب المساحة بواسطة استخدام الخط المستقيم، إذ يساوي طول الخط المستقيم نصف مجموع طول القاعدتين، وعليه فإن:[٦]

مساحة شبة المنحرف = الخط المستقيم لشبه المنحرف × الارتفاع

مساحة شبة المنحرف = م × ع

• القانون الثاني: يُستخدم في هذا القانون أطوال أضلاع شبه المنحرف ونصف قيمة محيط شبه المنحرف ويساوي ½ × مجموع أطوال أضلاعه في إيجاد مساحته، ويسمى أيضًا بصيغة هيرون، وينص على:[٩]

مساحة شبه المنحرف = (ب+أ)/(|ب – أ|)×الجذر التربيعي للقيمة ((س – ب) × (س – أ) × (س – ب – جـ) × (س – ب – د))

حيث إن:

• ب: طول القاعدة السفلية.
• أ: طول القاعدة العلوية.
• س: نصف قيمة المحيط.
• ج: طول الساق الأولى.
• د: طول الساق الثانية.

ما هو قانون محيط شبه المنحرف؟

مثل ما يمكن إيجاد المساحة لشبه المنحرف يمكن إيجاد المحيط، إذ يعد طريقة سهلة، ويعرّف محيط شكل هندسي ما بمجموع أطوال أضلاعه، كما يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف عن طريق القوانين الآتية:

• القانون الأول: يُستخدم في هذا القانون أطوال أضلاع شبه المنحرف، وعلية فإن:[٧]

محيط شبه المنحرف= طول القاعدة العلوية والسفلية + طول الضلعان غير المتوازيين

محيط شبه المنحرف= أ + ب + جـ + د

• القانون الثاني: يُستخدم في هذا القانون طول قاعدتيه السفلية والعلوية، والارتفاع، والزوايا المحصورة بين القاعدة السفلية والساقين، وعليه ينص القانون على:[١٠]

محيط شبه المنحرف= أ+ب+ع×((1/جاس) + (1/جاص))

حيث إن:

• أ: طول القاعدة العلوية.
• ب: طول القاعدة السفلية.
• ع: الارتفاع.
• س: الزاوية المحصورة بين القاعدة السفلية والساق الأولى.
• ص: الزاوية المحصورة بين القاعدة السفلية والساق الثانية.

المراجع[+]

1. ^ أ ب ت ث ج ح خ “What Is a Trapezoid? (Definition & Properties)”، tutors.com. Edited.
2. ^ أ ب “Trapezium”, encyclopediaofmath.org, Retrieved 2020-07-04. Edited.
3. ↑ “Geometry”, www.britannica.com. Edited.
4. ^ أ ب ت ث “Characterizations of Trapezoids”, Forum Geometricorum, Page 23-35. Edited.
5. ↑ “The Properties of Trapezoids and Isosceles Trapezoids”, www.dummies.com, Retrieved 14/09/2020. Edited.
6. ^ أ ب ت ث ج “Trapezoid”, mathworld.wolfram.com. Edited.
7. ^ أ ب ت “Properties of a Trapezoid”، www.moomoomath.com. Edited.
8. ↑ “Trapezoids”, byjus.com. Edited.
9. ↑ “Area of a trapezium formulas”, onlinemschool.com. Edited.
10. ↑ “TrapezoidGen”, www.efunda.com. Edited.