قوانين الحركة في خط مستقيم

القانون الأول من قوانين الحركة

صيغة القانون

ينص القانون الأول من قوانين الحركة في خط مستقيم على تعريف التسارع، وهو معدل تغير السرعة خلال الزمن، ويُمثل رياضيًا من خلال المعادلة الآتية.[١]

ع2 = ع1 + ت× ز [٢]

إذ إن:[٢]

• ت: تسارع الجسم المتحرك.
• ع2: السرعة النهائية للجسم.
• ع1: السرعة الابتدائية للجسم.
• ز: الزمن الذي يقطعه الجسم أثناء حركته.

اشتقاق القانون الأول من قوانين الحركة

يمكن اشتقاق هذا القانون من خلال الطريقة الجبرية باتباع الخطوات المدرجة أدناه:[٣]

1. إنَّ تسارع الجسم يُمثل رياضيًا من خلال المعادلة الآتية:

التسارع = (السرعة النهائية – السرعة الابتدائية)/ الزمن

وبالرموز:

ت = (ع2-ع1)/ ز

إذ إن:

• ت: تسارع الجسم المتحرك.
• ع2: السرعة النهائية للجسم.
• ع1: السرعة الابتدائية للجسم.
• ز: الزمن الذي يقطعه الجسم في أثناء حركته.

2. بإعادة ترتيب المعادلة ينتج أنَّ:

ع2 = ع1 + ت× ز، والذي يمثل القانون الأول من قوانين الحركة في خط مستقيم.

القانون الثاني من قوانين الحركة

صيغة القانون

ينص القانون الثاني من قوانين الحركة في خط مستقيم على أنَّ الإزاحة تتناسب طرديًا مع كل من الوقت والسرعة، ويُمثل رياضيًا من خلال المعادلة الآتية.[٤]

الإزاحة = السرعة الإبتدائية × الزمن + 0.5 × التسارع ×( الزمن )^2[٥]

وبالرموز:

ف = ع1× ز +0.5× ت × ز^2

إذ إن:

• ف: التغير في إزاحة الجسم.
• ع1: السرعة الابتدائية للجسم.
• ز: الزمن الذي يقطعه الجسم في أثناء حركته.
• ت: تسارع الجسم المتحرك.

اشتقاق القانون الثاني من قوانين الحركة

يمكن اشتقاق هذا القانون من خلال الطريقة الجبرية باتباع الخطوات المدرجة أدناه:[٣]

1. السرعة تمثل التغير في إزاحة الجسم خلال فترة زمنية محددة، ويمكن تمثيلها رياضيًا كالآتي:

السرعة = الإزاحة / الزمن

وبالرموز:

ع = ف / ز

2. بإعادة ترتيب المعادلة، ويتم استبدال السرعة بمتوسط السرعة؛ بسبب أن السرعة غير ثابتة، وينتج أنَّ:

متوسط السرعة = 0.5 × (السرعة الابتدائية + السرعة النهائية)

الإزاحة = متوسط السرعة × الزمن

3. نستبدل القانون بالرموز وينتج الآتي:

ف = [0.5 × (ع1 + ع2)] × ز

4. من القانون الأول من قوانين الحركة [ع2 = ع1 + ت × ز] نستبدل السرعة النهائية؛ لتصبح المعادلة كالآتي:

ف = [0.5 × (ع1 + ع1+ ت×ز)] × ز

ف = [0.5 × (2×ع1+ ت×ز)] × ز

5. بإعادة ترتيب المعادلة ينتج الآتي:

ف = (ع1 + 0.5 ×ت×ز) ×ز

ف = ع1× ز +0.5× ت × ز^2، والذي يمثل القانون الثاني من قوانين الحركة في خط مستقيم.

القانون الثالث من قوانين الحركة

صيغة القانون

ينص القانون الثالث من قوانين الحركة في خط مستقيم على أنَّ الإزاحة هي معدل تغيير موضع الكائن رياضيًا، ويُمثل من خلال المعادلة الآتية.[٦]

مربع السرعة النهائية = مربع السرعة الابتدائية + 2 × التسارع × الازاحة[٧]

وبالرموز:

(ع2)^2 = (ع1)^2 + 2×ت×ف

إذ إن:

• ع1: السرعة الابتدائية للجسم.
• ع2: السرعة النهائية للجسم.
• ت: تسارع الجسم المتحرك.
• ف: التغير في إزاحة الجسم.

اشتقاق القانون الثالث من قوانين الحركة

يمكن اشتقاق هذا القانون من خلال الطريقة الجبرية باتباع الخطوات المدرجة أدناه:[١]

1. إنّ الإزاحة هي معدل تغيير موضع الكائن رياضيًا، وتمثل كما يأتي:

ف = [0.5 × (ع1 + ع2)] × ز

2. من القانون الاول من قوانين الحركة [ع2 = ع1 + ت × ز] نستبدل السرعة النهائية ونرتبها؛ لتصبح المعادلة كالآتي:

ز = ع2 – ع1 / ت

3. باستبدال الزمن من الخطوة الثانية في المعادلة الإولى ينتج أنَّ:

ف = [0.5 × (ع1 + ع2)] × [ت ×(ع2 – ع1)]

ف = (ع2^2 – ع1^2) / 2×ت

4. بإعادة ترتيب المعادلة ينتج أنَّ:

ف×2×ت = ع2^2 – ع1^2

(ع2)^2 = (ع1)^2 + 2 ×ت×ف

أمثلة على قوانين الحركة في خط مستقيم

تعددت الأمثلة على قوانين الحركة في خط مستقيم، ونوضح منها ما يأتي مع خطوات الحل.

المثال الأول: إيجاد تسارع الجسم

يبدأ الجسم الحركة من الراحة إلى أن يصل لسرعة 20 م/ث في وقت 10 ثوانٍ، كم تسارع الجسم خلال هذا الوقت؟

الحل:

1. السرعة الابتدائية = صفر م/ث = ع1؛ لأنَّ الجسم بدأ الحركة من الراحة.
2. السرعة النهائية = 20 م/ث= ع2
3. الزمن المستغرق = 10 ثوانٍ
4. باستخدام القانون الأول من قوانين الحركة:

1. بتعويض معطيات السؤال في القانون مع ترك المجهول تسارع كالآتي:
2. 20 = 0 + ت × 10
3. بحل المعادلة السابقة ينتج أنَّ التسارع يساوي:
4. ت = 20/10 = = 2 م / ث^2، وهو تسارع الجسم خلال زمن مقداره 10 ثوانٍ.

المثال الثاني: إيجاد تسارع الجسم

بدأ جسم الحركة بسرعة 10 م/ث، ثم اضطر السائق للضغط على المكابح خلال 4 ثوانٍ فتوقف، كم أصبح تسارعه؟

الحل:

1. السرعة الابتدائية = 10 م /ث = ع1
2. السرعة النهائية = صفر= ع2؛ بما أنه ضغط على المكابح
3. الزمن المستغرق = 4 ثوانٍ
4. باستخدام القانون الأول من قوانين الحركة:

1. بتعويض معطيات السؤال في القانون مع ترك المجهول تسارع كالآتي:
2. 0 = 10+ ت × 4
3. بحل المعادلة السابقة ينتج أنَّ التسارع يساوي:
4. ت = 4/-10 = = -2.5 م/ث²، وهو تسارع الجسم خلال زمن مقداره 4 ثوانٍ.

المثال الثالث: إيجاد إزاحة الجسم

تحرك جسم من السكون إلى أن وصل لسرعة 20 م/ث بتسارع 2 م/ث²، كم الإزاحة التي قطعها، وخلال كم ثانية؟

الحل:

1. السرعة الابتدائية = صفر م /ث = ع1؛ لأنَّ الجسم بدأ الحركة من الراحة.
2. السرعة النهائية = 20 م/ث= ع2
3. تسارع الجسم = 2 م/ث2
4. باستخدام القانون الثاني للحركة يمكن ايجاد الإزاحة:

• ف = ع1× ز +0.5× ت × ز^2، ولكن الزمن مجهول.

1. باستخدام القانون الأول من قانون الحركة يتم إيجاد الزمن المجهول، وبتعويض معطيات القانون من السؤال:

1. 20 = 0 + 2 × ز
2. بحل المعادلة السابقة ينتج انَّ الزمن يساوي:
3. ز = 20 / 2
4. ز = 10 ثوانٍ
5. باستخدام القانون الثاني، وتعويض الزمن الذي تم إيجاده مسبقًا ينتج أنَّ:
6. ف = 0 × 10 + 0.5 × 2 × 10^2
7. ف = 100 م، وهي إزاحة الجسم خلال زمن مقداره 10 ثوانٍ.

المثال الرابع: إيجاد السرعة النهائية

تحرك جسم من السكون خلال 2 ثانية، وبتسارع 2 م/ث²، كم هي سرعته النهائية؟

الحل:

1. السرعة الابتدائية = صفر م/ث = ع1؛ لأنَّ الجسم بدأ الحركة من السكون.
2. تسارع الجسم = 2 م/ث²
3. الزمن المستغرق = 2 ثانية
4. باستخدام القانون الأول من قوانين الحركة:

1. بتعويض معطيات السؤال في القانون مع ترك المجهول السرعة النهائية كالآتي:
2. ع2 = 0 + 2 × 2
3. بحل المعادلة السابقة ينتج أنَّ السرعة النهائية يساوي:
4. ع2 = 4 م/ث، وهي السرعة النهائية للجسم خلال زمن مقداره 2 ثانية.

المثال الخامس: إيجاد إزاحة الجسم

تحرك جسم بسرعة 10 م/ث، ثم تزايدت سرعته لتصبح 20 م/ث، وبتسارع 3 م/ث²، كم مقدار الإزاحة التي قطعها؟

الحل:

1. السرعة الابتدائية = 10 م /ث = ع1
2. السرعة النهائية = 20 م/ث= ع2
3. تسارع الجسم = 3 م/ث2
4. باستخدام القانون الثالث من قوانين الحركة:

• (ع2)^2 = ع1^2 + 2 ×ت×ف

1. بتعويض معطيات السؤال في القانون مع ترك المجهول الإزاحة كالآتي:

• 20^2 = 10^2 + 2 × 3 × ف
• بحل المعادلة السابقة ينتج أنَّ إزاحة الجسم يساوي:

1. ف = 50 م، وهي إزاحة الجسم الناتجة من تزايد سرعة الجسم.

المراجع

1. ^ أ ب “Derivation of Equations of Motion”, byjus, Retrieved 23/9/2021. Edited.
2. ^ أ ب quintic., Equations of Motion ., Page 1. Edited.
3. ^ أ ب “Equations of Motion”, toppr, Retrieved 23/9/2021. Edited.
4. ↑ “Equations of Motion”, Equations of Motion.
5. ↑ “Motion in a Straight Line”, vedantu.
6. ↑ “Equation Of Motion And Its Application”, byjus, Retrieved 6/12/2021. Edited.
7. ↑ Australian Mathematical Sciences, Motion in a straight line, Page 17.