موقع اقرا » تعليم » رياضيات » قانون مساحة المثلث قائم الزاوية

قانون مساحة المثلث قائم الزاوية

قانون مساحة المثلث قائم الزاوية


كيف يتم حساب مساحة المثلث قائم الزاوية؟

يمكن تعريف المثلث قائم الزاوية (Right Triangle) على أنه المثلث الذي يحتوي زاوية قائمة؛ أي أن قيمتها 90 درجة[١]، في حين تعرف مساحة المثلث (Area of Triangle) بأنها مقدار الفراغ الذي يشغله المثلث ثلاثي الأبعاد، وتقاس المساحة بالوحدة المربعة.[٢]

قانون مساحة المثلث قائم الزاوية

يتم حساب مساحة المثلث بالاعتماد على كل من طول القاعدة وطول الارتفاع، وذلك حسب القانون الآتي:[٣]

مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع

ويعد هذا القانون هو ذاته قانون مساحة المثلث قائم الزاوية:[٤]

مساحة المثلث قائم الزاوية = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع

م = 1/2 × ل × ع

حيث إن: م: مساحة المثلث.ل: طول القاعدة.ع: الارتفاع.

قانون مساحة المثلث وفق صيغة هيرون

تستخدم صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث عند معرفة أطوال أضلاعه الثلاثة، وذلك وفقًا للقانون الآتي:[٥]

مساحة المثلث = [نصف المحيط × (نصف المحيط – الضلع الأول) × (نصف المحيط – الضلع الثاني) × (نصف المحيط – الضلع الثالث)]

م = [س × (س – ل) × (س – ع) × (س – و)]

حيث إن:[٥]

م: مساحة المثلث.ل: طول القاعدة.ع: الارتفاع.و: الوتر.س: نصف المحيط.

ويمكن حسابة قيمة نصف المحيط بالاعتماد على القانون الآتي:[٥]

نصف المحيط = (الضلع الأول + الضلع الثاني + الضلع الثالث) / 2

س = (ل + ع + و) / 2

يتم حساب مساحة المثلثات باستخدام الصيغة المتعارف عليها والتي تعتمد على طول القاعدة والارتفاع، أو باستخدام صيغة هيرون التي تعتمد على أطوال الأضلاع الثلاثة بالإضافة إلى نصف المحيط.

أمثلة على حساب مساحة المثلث قائم الزاوية

فيما يأتي أمثلة على حساب مساحة المثلث قائم الزاوية باستخدام معطيات مختلفة وقوانين مختلفة:

إذا كانت قاعدة المثلث وارتفاعه معلومين

كم تبلغ مساحة سطح المثلث قائم الزاوية، الذي طول قاعدته 6 سم، وارتفاعه 5 سم؟[٦]

من خلال التطبيق المباشر في قانون مساحة المثلث قائم الزاوية: م = 1/2 × ل × ع

م = 1/2 × ل × ع

م = 1/2 × 6 × 5

مساحة المثلث قائم الزاوية = 15 سم مربع.

إذا كان وتر المثلث وأحد الضلعين معلومين

كم تبلغ مساحة المثلث قائم الزاوية، الذي طول وتره 17 سم، وطول أحد أضلاع الزاوية القائمة 8 سم؟[٧]

و^2 = ل^2 + ع^2

  • بتعويض قيمة الوتر والضلع المعلوم مكان الارتفاع أو القاعدة (لا فرق لأن أحد أضلاع الزاوية القائمة هو الارتفاع والآخر هو القاعدة):

17^2 = 8^2 + ع^2

289 = 64 + ع^2

  • بطرح 64 من الطرفين:

225 = ع^2

  • بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، يتم إيجاد طول الضلع المجهول والذي سيعبر عن القاعدة أو الارتفاع:

س = 15 سم

  • وبالتطبيق في قانون مساحة المثلث قائم الزاوية: م = 1/2 × ل × ع

م = 1/2 × 8 × 15

  • مساحة المثلث قائم الزاوية= 60 سم مربع

إذا كان وتر المثلث وإحدى الزوايا معلومين

كم تبلغ مساحة المثلث قائم الزاوية ذو الوتر الذي طوله 8 سم، والذي تكون إحدى زواياه الحادة تساوي 57 درجة، علمًا بأن جا 57 = 0.8387، وجتا 57 = 0.5446؟[٨]

عند الإشارة إلى إحدى الزوايا الحادة في المثلثات قائمة الزاوية فيجب أخذ الدوال المثلثلية؛ الجيب، جيب التمام، والظل، بعين الاعتبار:[٩]

  • جيب الزاوية = الضلع المقابل للزاوية / الوتر

جا θ = ق / و

  • جيب تمام الزاوية = الضلع المجاور للزاوية / الوتر

جتا θ = ج / و

  • ظل الزاوية = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية

ظا θ = ق / ج

يمكن إيجاد طول القاعدة والارتفاع بالاعتماد على الدوال المثلثية، إذ يمكن اعتبار الضلع المقابل هو الارتفاع والضلع المجاور هو القاعدة أو العكس:[٨]

  • بالتطبيق على قانون الجيب: جا θ = ق / و

جا 57 = ع / 8

0.8387 = ع / 8

بضرب الطرفين بالعدد الحقيقي 8:

ع = 6.7096 سم

  • بالتطبيق على قانون جيب التمام: جتا θ = ج / و

جتا 57 = ل / 8

0.5446 = ل / 8

بضرب الطرفين بالعدد 8:

ل = 4.3568 سم

  • ولحساب المساحة يتم التطبيق في القانون: م = 1/2 × ل × ع

م = 1/2 ×  4.3568 × 6.7096

مساحة المثلث قائم الزاوية = 4.6161 سم مربع

إذا كان وتر المثلث ومحيطه معلومين

كم تبلغ مساحة المثلث قائم الزاوية الذي طول وتره 10 سم، ومحيطه 24 سم؟[١٠]

عند حل مثل هذه المسألة يتم إيجاد معادلتين، إذ إن طول القاعدة والارتفاع مجهولين، وذلك بالاعتماد على قانون محيط المثلث ونظرية فيثاغورس.

محيط المثلث = طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني + طول الضلع الثالث

ح = ل + ع + و

24 = ل + ع + 10

بطرح 10 من الطرفين:

14 = ل + ع …… المعادلة الأولى

  • بالاعتماد على نظرية فيثاغورس:
الوتر^2 = الضلع الأول^2 + الضلع الثاني^2 

10^2 = ل^2 + ع^2

100 = ل^2 + ع^2 …… المعادلة الثانية

    • بتربيع طرفي المعادلة الأولى:

14^2 = (ل + ع)^2

196 = ل^2 + ع^2 + (2 × ل × ع)

    • بتعويض 100 مكان ل^2 + ع^2 اعتمادًا على المعادلة الثانية:

196 = 100 + (2 × ل × ع)

    • بطرح 100 من الطرفين:

96 = 2 × ل × ع

بقسمة الطرفين على 2:

48 = ل × ع

    • وهكذا فإن حاصل ضرب طول القاعدة بالارتفاع يساوي 48، وعند تعويض هذا الرقم في قانون المساحة:

م = 1/2 × ل × ع

م = 1/2 × 48

    • مساحة المثلث قائم الزاوية = 24 سم مربع

مثال على صيغة هيرون

كم تبلغ مساحة المثلث قائم الزاوية الذي طول وتره 5 وحدات، وطول ضلعي الزاوية القائمة 3 وحدات و4 وحدات؟[١١]

  • لإيجاد نصف المحيط:

س = (ل + ع + و) / 2

س = (3 + 4 + 5) / 2

نصف المحيط = 6 وحدات

  • بالاعتماد على صيغة هيرون:

م = [س × (س – ل) × (س – ع) × (س – و)]

  • بتعويض قيمة نصف المحيط وطول القاعدة والارتفاع والوتر:

م = [6 × (6 – 3) × (6 – 4) × (6 – 5)]

م = [6 × (3) × (2) × (1)]

م = [36]

  • مساحة المثلث قائم الزاوية = 6 وحدة مربعة

يمكن حساب مساحة المثلث قائم الزاوية اعتمادًا على المعلوم من أضلاعه وزواياه، ولمعرفة طرق حساب مساحة المثلث المختلفة بشكل عام، يمكنك الاطلاع على المقال الآتي: طرق حساب مساحة المثلث.

المراجع[+]

  1. “Trigonometry and Right Triangles”, lumenlearning, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  2. “Right Angled Triangle”, byjus, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  3. “Area of a Triangle”, byui, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  4. “What is the formula for the surface area of a right triangle?”, socratic, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  5. ^ أ ب ت “Heron’s Formula”, byjus, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  6. “What is the formula for the surface area of a right triangle?”, socratic, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  7. “Find the area of a right triangle whose hypotenuse is 17 cm and one of the sides which forms a right angle is 8 cm.”, toppr, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  8. ^ أ ب “Find the area of the right triangle with hypotenuse 8cm and one of the acute angle is 57 “, toppr, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  9. “Trigonometric ratios in right triangles”, khanacademy, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  10. “The perimeter of a right triangle is 24cm. If its hypotenuse is 10cm, find its area.”, toppr, Retrieved 18/1/2021. Edited.
  11. “How to Calculate the Area of a Triangle”, wikihow, Retrieved 18/1/2021. Edited.






اللهم اجعلنا ممن ينشرون العلم ويعملون به واجعله حجه لنا لا علينا

تصميم وبرمجة شركة الفنون لحلول الويب