خصائص الأعداد الحقيقية

ما هي خصائص الأعداد الحقيقية؟

يمكن تعريف الأعداد الحقيقية (بالإنجليزية: Real Numbers) بأنها جميع الأعداد التي تقع على خط الأعداد، ويُرمز لها عادة بالرمز (R)، وتتضمن الأعداد الطبيعية التي تتضمن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، والأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد غير النسبية،[١] وتتميز الأعداد الحقيقية بالخصائص الآتية:

خاص ية الانغلاق

خاص ية الانغلاق (بالإنجليزية: Closure Properties) تنص على أنه إذا كان أ، وب عددان حقيقيان فإن ناتج جمع أو طرح العددين (أ+ب)، (أ-ب) يساوي عدداً حقيقياً أيضاً، وكذلك الحال بالنسبة لناتج ضرب العددين (أ×ب) فهو يساوي أيضاً عدداً حقيقياً؛ فمثلاً إذا كان العددان 3،11 حقيقيان فإنّ: 3+11 = 14، 3×11 = 33، والعددان 14، و33 يمثلان أعداداً حقيقية، لكن ذلك لا ينطبق على عملية القسمة، وذلك كما يلي:[٢]

• إن العددين 0، و5 يمثلان عددان حقيقيان، لكنّ ناتج قسمة 5/0 يعطي قيمة غير مُعرّفة وهو عدد غير حقيقي؛ حيث إن القسمة على صفر دائماً تعطي قيمة غير معرفة.

الخاص ية التبديلية

تنطبق الخاص ية التبديلية (بالإنجليزية: Commutative Properties) على عملية جمع الأعداد الحقيقية، وضربها، وتعني أنّه: إذا كان أ، ب عددان حقيقيان فإنّ: أ+ب = ب+أ، و أ×ب = ب×أ، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:[٢]

• 3+4 = 4+3، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 7.
• 4×8 = 8×4، وفي كلتا الحالتين الناتج يساوي 32.

الخاص ية التجميعية

تنطبق الخاص ية التجميعية (بالإنجليزية: Associative Properties) على عملية جمع، وطرح الأعداد الحقيقية، وتعني أنّه إذا كانت أ، ب، جـ أعداداً حقيقية فإنّ: (أ+ب)+جـ = أ+(ب+جـ)، و (أ×ب)×جـ = أ×(ب×جـ)، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:[٢]

• (2+6)+1 = 2+(6+1)، وبالتالي: 8+1 = 2+7، ومنه: 9 = 9؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.
• (2×3)×5 = 2×(3×5)، وبالتالي: 6×5 = 2×15، ومنه: 30 = 30؛ أي أنه في كلتا الحالتين تم الحصول على نفس النتيجة.

الخاص ية التوزيعية

تعد الخاص ية التوزيعية (بالإنجليزية: Distributive Properties) من خصائص عملية الضرب، وتعني أنّه يمكن توزيع عملية الضرب على عمليتي الجمع والطرح؛ فمثلاً: جـ×(أ+ب) = جـ×أ + جـ×ب، ويمكن إثبات ذلك كما يلي: إنّ 4×(أ+ب) تعني أن هناك أربعة حدود من (أ+ب)؛ أي (أ+ب) + (أ+ب) + (أ+ ب) + (أ+ب) = 4×أ + 4×ب، وهي تعادل النتيجة التي يمكن الحصول عليها عند تطبيق الخاص ية التوزيعية، ولتوضيح ذلك إليك الأمثلة الآتية:[٢]

• 2×(5+7) = 2×5 + 2×7 = 24.
• 6×(س+3) = 6×س + 6×3 = 6س+18.

خاص ية الهوية

تعني خاص ية الهوية (بالإنجليزية: The Identity Properties) أن العنصر المحايد لعملية الجمع هو صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للصفر يعطي نفس العدد؛ مثل: 6+0 = 6، والعنصر المحايد لعملية الضرب هو 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في 1 يُعطي العدد نفسه مثل: 6×1 = 6، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:[٢]

خاص ية المعكوس

خاص ية المعكوس (بالإنجليزية: Inverse Properties)، يمكن تعريف المعكوس الجمعي لأي عدد حقيقي بأنه العدد الذي عند إضافته إلى ذلك العدد يُعطي النتيجة (0)؛ فمثلاً المعكوس الجمعي للعدد 3 هو -3، وذلك لأنّ: 3+(-3) = 0، والمعكوس الجمعي للعدد 15- مثلاً هو 15، أما المعكوس الضربي فهو العدد الذي عند ضربه في أي عدد حقيقي يعطي النتيجة (1)، ويمثل مقلوب العدد دائماً المعكوس الضربي له؛ فمثلاً المعكوس الضربي للعدد 6 هو 1/6، وذلك لأنّ: 6×(1/6) = 1، والمعكوس الضربي للعدد 2/3 هو 3/2، وبشكل عام إذا كان أ عدد حقيقي فإنّ:[٢]

• المعكوس الجمعي له هو -أ، وذلك لأنّ: أ+(-أ) = 0، و (-أ)+أ = 0.
• المعكوس الضربي له هو مقلوب العدد؛ أي (1/أ)، وذلك لأنّ: أ×(1/أ) = 1.

أمثلة متنوعة حول خصائص الأعداد الحقيقية

وفيما يأتي أمثلة متنوعة حول خصائص الأعداد الحقيقية:

المثال الأول: باستخدام خصائص الأعداد الحقيقية ضع القيمة المناسبة في الفراغ لكل مما يأتي:[٢]

الحل:

المسألة	الحل
6+5 = () + 6	باستخدام الخاص ية التبديلية فإنّ: 6+5 = (5)+6
ل+12 = 12+()	باستخدام الخاص ية التبديلية للجمع فإنّ: ل+12 = 12+(ل)
4×(ع-5) = ()×4	باستخدام الخاص ية التبديلية للضرب فإنّ: 4×(ع-5) = (ع-5)×4
(9×أ-1)×() = (2×ب+7)×(9×أ-1)	باستخدام الخاص ية التبديلية للضرب فإنّ: (9×أ-1)×(2×ب+7) = (2×ب+7)×(9×أ-1)
(9+2) +5 = 9+()	باستخدام الخاص ية التجميعية فإنّ: (9+2)+5 = 9+(2+5)
س+(5+ص) = ()+ص	باستخدام الخاص ية التجميعية فإنّ: س+(5+ص) = (س+5)+ص

المثال الثاني: يريد أحمد إجراء عملية الطرح: 1273-497، ولكنه لا يمتلك آلة حاسبة، فقرر إجراء عملية الطرح باستخدام الخاص ية التجميعية كما يلي: أ) الخطوة الأولى: 1273-497. ب) الخطوة الثانية: 1273 – (500-3) جـ) الخطوة الثالثة: (1273-500) – 3 د) الخطوة الرابعة: 773-3 هـ) الخطوة الخامسة (النتيجة): 770؛ فأخبره صديقه خالد أن إجابته خطأ، وأن الإجابة تساوي 776، فأي من الخطوات التي قام بها أحمد كانت خطأ؟[٣]

الحل: الخطوة الثالثة (جـ)، وذلك لأن الخاص ية التجميعية تنطبق على عملية الجمع، والضرب فقط، ولا تنطبق على عملية الطرح.

المثال الثالث: تريد سارة إجراء عملية القسمة 40/9، ولكنها لا تملك آلة حاسبة فأجرت الخطوات الآتية: أ) الخطوة الأولى: 40/(5+4) ب) الخطوة الثانية: (40/4) + (40/5) جـ) الخطوة الثالثة: 10+8 د) الخطوة الرابعة: 18، فأخبرتها صديقتها سلمى أن الإجابة خطأ، وأن الإجابة يجب أن تساوي 4.44، فأي من الخطوات التي قامت بها سارة تعتبر خطأ؟[٣]

الحل: الخطوة الثانية، وذلك لأن الخاص ية التوزيعية تنطبق على حالة الضرب فقط، وليس القسمة.

المثال الرابع: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: 18×ب + 6×ك + 15×ب + 5×ك؟[٤]

الحل: باستخدام الخاص ية التجميعية فإنه يمكن جمع الحدود المتشابهة معاً كما يلي: 18×ب + 6×ك + 15×ب + 5×ك= (18+15)×ب+ (6+5)×ك = 33×ب+11×ك.

المثال الخامس: بسّط ما يلي إلى أبسط صورة: ((5/13) + (3/4)) + (1/4)؟[٤]

الحل:

• لإجراء عملية الجمع فإنه يجب أولاً أن تكون المقامات متشابهة، ويمكن ملاحظة أن آخر حدين مقاماتهم متشابهة، وبالتالي يمكن باستخدام الخاص ية التجميعية إعادة كتابة المسألة كما يلي لتسهيل حسابها: (5/13) + ((3/4)+(1/4))، لينتج أنّ:
  • (5/13) + (4/4) = (5/13)+1 =(5/13)1، وهو عدد كسري
  • بتحويل العدد الكسري إلى كسر ينتج أنّ: (5/13)1= 18/13.

المثال السادس: ما هو المعكوس الجمعي للقيم الآتية:[٤]

الحل:

المسألة	الحل
5/8	-5/8
0.6	0.6-
-8	8
-4 / 3	4 / 3

المثال السابع: ما هو المعكوس الضربي لكل من القيم الآتية: أ) 9. ب) . جـ) .؟[٤]

الحل: المعكوس الضربي يمثل المقلوب، وبالتالي:

المسألة	الحل
9	1/9
– 1/9	-9
0.9	العدد 0.9 عبارة عن 9/10، وبالتالي فإن المعكوس الضربي له: 10/9

المثال الثامن: هل ناتج ضرب (-6)×(+3) يساوي عدداً حقيقياً؟[٥]

الحل: نعم، وذلك لأنّ: -6×(+3) = -18، وهو عدد حقيقي وفق خاص ية الانغلاق.

المثال التاسع: هل (-3×2)×2 تساوي -3×(2×2)؟[٥]

الحل: الطرفان وفق الخاص ية التجميعية للضرب متساويان، ولإثبات ذلك:

• (-3×2)×2 = -6×2 = -12.
• -3×(2×2) = -3×4 = -12.

المثال العاشر: بناءً على معرفتك بخصائص الأعداد الحقيقية ما هي الخاص ية التي تمثل كلاً مما يلي:[٦]

الحل:

المسألة	الحل
7+(-2) = (-2)+7	الخاص ية التبديلية للجمع
س+(3+ص) = (س+3) + ص	الخاص ية التجميعية للجمع
أ + ((ب+جـ)×د) = أ+د×(ب+جـ)	الخاص ية التبديلية للضرب
س×(ص+(ع+ل)) = س×ص + س×(ع+ل)	الخاص ية التوزيعية
(س+ص) + (-(س+ص)) = 0	خاص ية المعكوس الجمعي (العدد + معكوسه = صفر)
(س+ص)×1 = س+ص	خاص ية الهوية لعملية الضرب
إذا كانت س+ص لا تساوي صفر؛ فإنّ (س+ص)×(1/(س+ص)) = 1	خاص ية المعكوس الضربي (العدد×مقلوبه = 1)

يمكن تعريف الأعداد الحقيقية بأنها جميع الأعداد التي تقع على خط الأعداد، ويُرمز لها عادة بالرمز (R)، وتتميز الأعداد الحقيقية بالعديد من الخصائص؛ كخاص ية الانغلاق، والخاص ية التبديلية، والخاص ية التجميعية، والخاص ية التوزيعية، وخاص ية الهوية، وخاص ية المعكوس.

المراجع

1. ↑ “Real Numbers: Property CHART”, mathbitsnotebook.com, Retrieved 15-6-2020. Edited.
2. ^ أ ب ت ث ج ح خ “Properties of Real Numbers”, www.riosalado.edu, Retrieved 15-6-2020. Edited.
3. ^ أ ب “Commutative, Associative and Distributive Laws”, www.mathopolis.com, Retrieved 15-6-2020. Edited.
4. ^ أ ب ت ث “Properties of Real Numbers”, opentextbc.ca, Retrieved 15-6-2020. Edited.
5. ^ أ ب “1.10 Properties of Real Number Multiplication”, www.ck12.org, Retrieved 15-6-2020. Edited.
6. ↑ ” Basic Algebraic Properties of Real Numbers”, www.emathzone.com, Retrieved 15-6-2020. Edited.