العلاقة بين الانحراف المعياري والمتوسط

العلاقة بين الانحراف المعياريّ والمتوسط

يُعرّف الانحراف المعياريّ (Standard Deviation) بأنّه مقياس لتحديد مقدار تشتت البيانات وبعدها ومدى اختلافها عن المتوسط الحسابيّ، ويُرمز للانحراف المعياريّ بالرمز (σ)، ويمثل مدى انتشار البيانات حول المتوسط الحسابيّ، ويُحدد عرض المنحنى ومدى اقترابه من المحور الأفقيّ، [١] بينما يُعرّف المتوسط الحسابيّ (Mean) بأنّه متوسط مجموعة مكوّنة من رقمين أو أكثر، وهو مجموع جميع قيم بيانات المجموعة مقسومًا على عددها الكليّ، ويُرمز له بالرمز (x̅)، ويُمثّل المتوسط الحسابيّ مركز أو منتصف البيانات عند توزيع مجموعة من البيانات على المنحنى الطبيعيّ،[٢]ومن الجدير بالذكر أنّ قيم المتوسط الحسابيّ ترتبط بالانحراف المعياريّ، حيثُ أنّه كلما كانت البيانات بعيدة عن قيمة المتوسط الحسابيّ زادت قيمة الانحراف المعياريّ.

كيفية حساب الانحراف المعياريّ والمتوسط الحسابيّ

المتوسط الحسابيّ

يُحسب المتوسط الحسابيّ لمجموعة من البيانات باستخدام الصيغة الرياضيّة الآتية:

المتوسط الحسابي = مجموع قيم جميع البيانات / عددها الكلي

وبالرموز:

م = (س 1 + س 2 + س 3 +…… + س ن) / ن

وبالرموز الإنجليزيّة:

(x̅ = ∑ (xi) / (n

حيثُ إنّ:

• م (x̅): المتوسّط الحسابيّ.
• س (xi): قيمة البيانات.
• ن (n): عدد القيم الكليّ.

مثال

احسب المتوسط الحسابي للأرقام الآتي:

25، 20، 37، 32، 47، 40، ومجموع الأرقام في المجموعة هو= 25+ 20+ 37+ 32+ 47+ 40=201، وعدد الأرقام في المجموعة هو= 6، ليصبح المتوسط الحسابي أو الناتج النهائي هو= 201/6= 33.5.

الانحراف المعياريّ

يُحسب الانحراف المعياريّ اعتمادًا على المتوسط الحسابيّ، ويُمكن تمثيله بالصيغة الرياضيّة الآتية:

الانحراف المعياري = (القيمة الأولى -الوسط الحسابي) ² + (القيمة الثانية – الوسط الحسابي) ² +… + (القيمة الأخيرة – الوسط الحسابي) ²) / (عدد القيم الكلي -1) √

وبالرموز:

ح م = ((س 1- م) ² + (س 2 – م) ² +… + (س ن – م) ² )/ (ن -1) √

وبالرموز الإنجليزية:

[(σ = √ [∑ ((xi – x̅)²) / (n – 1

حيثُ إنّ:

• ح م (σ): الانحراف المعياريّ.
• م (x̅): المتوسّط الحسابيّ.
• س (xi): قيمة البيانات.
• ن (n): عدد القيم الكليّ.

مثال

ما هي قيمة الانحراف المعياري لعينة مكونة من القيم الآتية (1، 2، 2، 4، 6)
أولاً يجب إيجاد قيمة الوسط الحسابي للقيم
الوسط الحسابي = (1 + 2 + 2 + 4 + 6) / 5
إذاً الوسط الحسابي = 15 / 5 = 3

ثم يجب طرح الوسط الحسابي من القيمة الأولى ثم تربيع الناتج، وإعادة هذه العملية لجميع القيم المتبقية: (القيمة – الوسط الحسابي للعينة) ^2

(1 – 3) ^2 = (-2) ^2 = 4 (2 – 3) ^2 = (-1) ^2 = 1 (2 – 3) ^2 = (-1) ^2 = 1 (4 – 3) ^2 = (1) ^2 = 1 (6 – 3) ^2 = (3) ^2 = 9

ثم يجب جمع القيم الناتجة من الخطوة السابقة: 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16 وقسمة الناتج على عدد القيم مطروحًا منها 1:

16 / (5 - 1) = 16 

16/ 4 = 4

ثم أخذ الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة:

الانحراف المعياري للعينة = 4√ = 2

المراجع

1. ↑ MARSHALL HARGRAVE (8/12/2021), “Standard Deviation”, Investopedia, Retrieved 4/1/2022. Edited.
2. ↑ “Mean Formula”, BYJU’S, Retrieved 4/1/2022. Edited.