الخصائص الرياضية لعملية الضرب

عملية الضرب

لماذا يجد الأطفال صعوبة في التعامل مع عملية الضرب؟

تُعد عملية الضرب أحد أهم العمليات الحسابية الأساسية والمعروفة بالرمز x؛ والتي تُعرف على أنّها عملية جمع متكرر لرقم واحد لعدد من المرات وفقًا للرقم الآخر المضروب فيه[١].

ومن الجدير بالذكر أنّ عملية الضرب تُمثل تحديًا كبيرًا للمتعلمين كالأطفال على وجه الخصوص؛ وذلك لما تتطلبه هذه العملية من وقت وجهد في حفظ جدول الضرب وممارسته، فعلى حد قول معظم المُعلمين؛ إنّ الأطفال بحاجة لـ 10 إلى 15 دقيقة من التدريب، وذلك بمعدل أربع أو خمس مرات في الأسبوع لحفظ جدول الضرب عن ظهر قلب[٢]، ولا بدّ من الإشارة هنا إلى أنّ من أهم القواعد التي يُمكن أخذها بعين الاعتبار عند القيام بعملية الضرب هي إشارات الأرقام؛ فعند ضرب رقم إشارته سالبة مع رقم إشارته سالبة يكون الناتج رقمًا موجبًا، أمّا عند ضرب رقمين مختلفين في الإشارة فيكون الناتج رقمًا سالبًا[٣]، وفي هذا المقال سيتم الحديث عن الخصائص الرياضية التي تميز عملية الضرب.

ما أبرز الخصائص الرياضية لعملية الضرب؟

اكتشفعلماء الرياضيات منذ زمن الإغريق القُدامى قوانين وقواعد يُمكن تطبيقها عند استخدام الأرقام، ولا سيما تلك التي تتعلق بعملية الضرب؛ إذ قاموا بتحديد خمسة خصائص رئيسة لا تزال صحيحة وقائمة حتى هذا اليوم، ومع أنّ معظم هذه الخصائص قد تبدو واضحة للجميع إلى حد ما؛ إلى أنّها تساعد بشكل كبير في حل المسائل المعقدة وتبسيط المعادلات الرياضية[٤]، وفيما يأتي توضيحًا لهذه الخصائص:

الخاص ية التجميعية

تنص الخاص ية التجميعية للضرب على أنّ تجميع الأرقام لا يهم عند ضرب سلسلة من القيم معًا، حيث يُقصد بتجميع الأرقام هنا وضع الأرقام داخل الأقواس، وكما هو معروف في قواعد الرياضيات فإنّ الأولوية دائمًا للعمليات الحسابية الموجودة داخل الأقواس، إلا أنّه في عملية الضرب لا يؤثر وجود هذه الأقواس على الناتج النهائي، وبالرموز فإنّ: (أ x ب) x ج = (ج x ب) x أ. [٥].

أيّ أنّ الترتيب في عمليات الضرب غير مهم، وبالتالي يُمكن كتابة المعادلة ببساطة أ x ب x ج[٥].

الخاص ية التبادلية

تنص الخاص ية التبادلية للضرب على أنّه عند ضرب رقمين أو أكثر مع بعضهما البعض فإنّ ترتيب هذه الأرقام لا يؤثر على الناتج النهائي؛ وباستخدام الرموز فإنّ:

أ x ب = ب x أ، وأنّ م x ن x هـ = ن x هـ x م = هـ x ن x م[٦].

خاص ية التوزيع

تنص خاص ية التوزيع للضرب على أنّه يُمكن توزيع العدد الموجود خارج الأقواس وضربه بجميع الحدود التي توجد داخل الأقواس؛ وباستخدام الرموز فإنّ:

أ(ب+ج)=أب + أجأو ج(أ+ب)=أج+ب ج، ومن الجدير ذكره أنّه يُمكن الاستفادة من هذه الخاص ية في تبسيط أيّ مسألة رياضية معقدة، تمديد المعادلات الرياضية، وتقييم المعادلات الرياضية[٧].

خاص ية الصفر

وهي واحدة من أهم القواعد المميزة للرقم صفر؛ والتي تنص على أنّ ناتج ضرب أيّ رقم بالرقم صفر هو صفر، وذلك بغض النظر عن هذا الرقم وقيمته أو إشارته[٨].

الخاص ية الهوية

تنص خاص ية الهوية للضرب على أنّ الرقم يساوي نفسه عند ضربه في العدد 1؛ وذلك بغض النظر عن هذا الرقم وقيمته أو إشارته، فعند ضرب الرقمين 8 و2 ببعضهما البعض فإنّ الناتج سيكون 16؛ أيّ أنّ الناتج رقمًا يختلف عن الرقمين 8 و2، وبالتالي يُمكن القول أنّ الرقمين المضروبين قد تغيرت هويتهما إلى الناتج 16، ولكن عند القيام بضرب الرقم 8 في 1، فسيكون الناتج هو الرقم 8، أيّ أنّ الرقم 8 قام بالاحتفاظ بهويته بعد القيام بعملية الضرب[٩].

أمثلة على خصائص عملية الضرب

بعد تعريف عملية الضرب ومعرفة أهميتها وخصائصها في علم الجبر، لا بدّ من طرح بعض الأمثلة العملية على تلك الخصائص الخمسة؛ وذلك لفهما بشكل جيد كما يأتي:

أمثلة على الخاص ية التجميعية

• عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلة الآتية[١٠]:

5x4x2

فإنّ الجواب الناتج سيكون 40؛ إذ يُمكن الحصول على نفس الناتج حتى مع تغير ترتيب الأرقام ووضع الأقواس كما يأتي:

5X4)X2)

فإنّ الأولوية للأقواس وفقًا للقواعد في الرياضيات؛ أيّ أنّ الحل سيكون:

20X2

وبالتالي سيكون الجواب أيضًا 40

وكذلك الأمر في حال تم تغير مكان الأقواس وكتابة المعادلة كما يأتي:

(5X(4X2)

فالأولوية هنا للأقواس أيّ تصبح المعادلة:

5X8 ويكون الجواب أيضًا: 40.

• عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلة الآتية[١٠]:

9×2)x5)

18×5=

90=

أو وفقًا للمعادلة الآتية:

5×2)x9)

10×9=

فإنّ الجواب سيكون ذاته أيّ الرقم 90.

• عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلة الآتية[١١]:

3×21-

أو وفقًا للمعادلة الآتية:

(3×3)x7-

فإنّ الجواب سيكون ذاته أيّ الرقم 63-

أمثلة على الخاص ية التبادلية

• عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلة الآتية[٦]:

2x3x5x3x2x3x5

أو وفقًا للمعادلة الآتية:

2x5x2x5x3x3x3

أو وفقًا للمعادلة الآتية:

3x3x3x5x2x5x2

فإنّ الجواب سيكون ذاته أيّ الرقم 2700؛ وذلك لأنّ عملية الضرب عملية تبادلية.

• عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلة الآتية[١٢]:

3x5x9-

أو وفقًا للمعادلة الآتية:

3x9x5-

أو وفقًا للمعادلة الآتية:

9x-3×5

فإنّ الجواب سيكون ذاته أيّ الرقم 135-.

أمثلة على خاص ية التوزيع

• عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلة الآتية[٧]:

3x(10+2)

فإنّه يمكن توزيع العدد 3 على الأعداد داخل القوس كما يأتي:

3×10+3×2

30+6=

36=

• عند ضرب قوسين كل قوس يتكوّن من ثلاث حدود يتم استخدام خاص ية التوزيع كما يأتي[١٣]:

(6-3)5=

(3)5-(6)5=

30-15=

15=

أمثلة على خاص ية الصفر

عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلات الآتية فسيكون الناتج صفرًا وفقًا لخاص ية الصفر[٨]:

• 2×0=0.
• 127×0=0.
• 52,004,378×0=0.

أمثلة على الخاص ية الهوية

عند ضرب الأرقام وفقًا للمعادلات الآتية فسيكون الناتج الرقم نفسه وفقًا لخاص ية الهوية[٩]:

• 1×1= 1
• 1×15= 15
• 178×1= 178
• 7×1= -7–
• 100,000,000,000,000,000,000×1=100,000,000,000,000,000,000

المراجع[+]

1. ↑ “Multiplication”, www.icoachmath.com, Retrieved 2020-07-14. Edited.
2. ↑ “Practice Multiplication Skills With Times Tables Worksheets”, www.thoughtco.com, Retrieved 2020-07-14. Edited.
3. ↑ “Form 1 Unit 7 :Lesson 4 Multiplication and Division of Directed Numbers”, brilliantmaths.com, Retrieved 2020-07-15. Edited.
4. ↑ “The Four Types of Multiplication Properties”, sciencing.com, Retrieved 2020-07-15. Edited.
5. ^ أ ب “Associative property of Addition and Multiplication”, brilliant.org, Retrieved 2020-07-15. Edited.
6. ^ أ ب “Commutative property of Addition and Multiplication”, brilliant.org, Retrieved 2020-07-14. Edited.
7. ^ أ ب “Distributive Property”, brilliant.org, Retrieved 2020-07-15. Edited.
8. ^ أ ب “The Multiplication Property of Zero: Definition & Examples”, study.com, Retrieved 2020-07-15. Edited.
9. ^ أ ب “Identity Property of Multiplication: Definition & Example”, study.com, Retrieved 2020-07-15. Edited.
10. ^ أ ب “Associative property of multiplication review”, www.khanacademy.org, Retrieved 2020-07-15. Edited.
11. ↑ “Using associative property to simplify multiplication”, www.khanacademy.org, Retrieved 2020-07-26. Edited.
12. ↑ “Commutative Property of Multiplication: Definition & Examples”, study.com, Retrieved 2020-07-26. Edited.
13. ↑ “The Distributive Property”, www.montereyinstitute.org, Retrieved 2020-07-26. Edited.