الجذور التربيعية في الرياضيات

ما هو الجذر التربيعي؟

إذا كان لدينا العدد (y)، فإن جذره التربيعي هو العدد الحقيقي الموجب (x) الذي إذا ضرب في نفسه تكون النتيجة هي العدد (y)،[١] وقد تكون قيمة الجذر صحيحة كاملة وقد تكون قيمة عشرية؛ فمثلًا الرقم تسعة عبارة عن حاصل ضرب العدد 3 في نفسه، أمّا الرقم 8 فهو عبارة عن حاصل ضرب العدد 2.83 في نفسه، وتوجد أكثر من طريقة لحساب الجذر التربيعي( √).[٢]

بالإمكان إيجاد الجذر التربيعي للأعداد على اختلافها، وقد تكون قيمة الجذر صحيحة كاملة وقد تكون قيمة عشرية، ولحسابه عدة طرق، كما توجد العديد من الخصائص التي تسهل تحديده.

طرق حساب الجذر التربيعي للأعداد

يُمكن إيجاد الجذر التربيعي بالمعادلة التالية: [٣]

ق(س) = (س)^(1/2)

ق(س): اقتران ق بالقيمة س.

(س)^(1/2): القيمة س تحت الجذر التربيعي.

بالتخمين

أحد طرق إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما هو التخمين؛ أي اقتراح عدة أرقام لتساعد على الوصول للنتيجة الدقيقة،[٣] وهناك العديد من الأمور المُسهلة لهذا:[٣]

• المربع الكامل لا يمكن أن يكون سالبًا.
• إذا انتهى العدد بالأرقام 2 أو 3 أو 7 أو 8؛ فإنه لا يوجد له جذر تربيعي كامل (عدد عشري).
• إذا انتهى العدد بالأرقام 1 أو 4 أو 5 أو 6 أو 9؛ فإن هناك جذر تربيعي ويمكن الوصول إليه بالتجربة والتخمين.

بالتحليل للعوامل الأولية

تُعدّ طريقة التحليل باستخدام الأعداد الأولية، واحدة من طرق إيجاد الجذور التربيعية بطريقة دقيقة ومفصلة، والتي تقوم على إعادة وتحليل العدد نفسه إلى عوامله الأولية، التي يؤدي ناتج ضربها سويًا إليه، ومن ثم النظر في العوامل الأولية المتواجدة وكل اثنان منهما يشكل رقم وناتج ضربها هو الجذر التربيعي.[٤]

مثال: ما الجذر التربيعي للرقم 576 بطريقة التحليل للعوامل الأولية.

• تحليل العدد 576 للعوامل الأولية:[٤]

576	2
288	2
144	2
72	2
36	2
18	2
9	3
3	3
1

• العدد 576 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3* 3 .
• الجذر التربيعي 576 = 2 * 2 * 2 * 3 = 24 .

بالقسمة الطويلة

يمكن إيجاد الجذر التربيعي للأعداد باستخدام القسمة الطويلة؛ وهذا بالبدء بتقسيم العدد الموجود من اليمين إلى أزواج، وكل زوج لوحده وإن تبقى رقم واحد يكن ذو قيمة واحدة، ثم البدء بإيجاد رقمين يمكن ضربهما سويًا لإعطاء الرقم أو أقل منه أو الأكثر من، لتحديد الأعداد التي يقع بينها الجذر، وهذا من اليسار لليمين.[٥]

مثال: ما الجذر التربيعي للعدد 784 بالقسمة الطويلة.[٥]

• نقسم العدد إلى أزواج وليكن، (84 ) زوج والرقم 7 لوحده.
• الرقم 7، يمكن اختيار، (2 * 2 = 4) (أقل من 7) ، (3 * 3 = 9) (أكثر من سبعة)، إذن نختار العدد 2.
• نطرح 7 من 4 والناتج 3.
• وبإنزال العدد 84، يصبح كامل العدد (384).
• العدد الذي يمكن ضربه بنفسه لإعطاء الرقم (384) هو (48).
• باتخاذ الخانة الأولى لكل عدد حقق اضرب بنفسه لإعطاء الرقم، مثلًا : العدد 2، نأخذ 2 ، والعدد 48 نأخذ 8.
• بترتيب الأعداد من اليسار لليمين 28، وهو الجذر التربيعي للعدد 784.

(84) 7	2
–	2
4
(84) 3	48
(84) 3	48
00 0
الجذر التربيعي	28

طرق حل الجذور التربيعية كثيرة ومنها؛ التخمين والتجربة لإيجاد الأنسب، وبالتحليل للعوامل الأولية وتقسيمها لأزواج وإيجاد الجذر التربيعي، أو بطريقة القسمة الطويلة واتخاذ الجذر.

جدول الجذور التربيعية

التالي جدول الجذور التربيعية:[٢]

الجذر التربيعي	القيمة
0	0
1	1
4	2
9	3
16	4
25	5
36	6
49	7
64	8
81	9
100	10
121	11
144	12

يمكن إيجاد الجذر التربيعي لأي عدد كان بالطرق المذكورة سابقًا، والجدول أعلاه للاستعانة للأعداد من 0 إلى 12.

خواص الجذور التربيعية

للجذور التربيعية خصائص عدّة، تُدرج كالآتي:[٣]

• إذا كان الرقم عددًا مربعًا كاملًا؛ فله جذر تربيعي كامل.
• عند انتهاء الرقم بعدد زوجي من الأصفار؛ فمن الممكن له جذر تربيعي.
• عند ضرب رقمين تحت الجذر التربيعي، النتيجة حاصل ضربهما تحت الجذر التربيعي.
• عند ضرب الرقم تحت الجذر التربيعي بنفسه تحت الجذر التربيعي؛ فالنتيجة الرقم ذاته دون الجذر.
• المربع الكامل لا يمكن أن يكن سالبًا.
• إذا انتهى العدد بالأرقام 2 أو 3 أو 7 أو 8 فإن لا يوجد جذر تربيعي كامل.
• إذا انتهى العدد بالأرقام 1 أو 4 أو 5 أو 6 أو 9 فإن هناك جذر تربيعي ويمكن الوصول إليه بالتجربة والتخمين.

للجذور التربيعية عدة خصائص تتمثل، بأن الأعداد السالبة عند ضربها مع بعضها النتيجة موجبة، ولكن لا يوجد مربعًا كاملًا سالبًا، وضرب جذر الرقم بنفسه تكن النتيجة العدد نفسه، والعديد منها مذكورة أعلاه.

أمثلة لحساب الجذر التربيعي

إيجاد الجذر التربيعي للعدد 49

بطريقة التخمين، يمكن البدء باختيار أرقام من الرقم 1 إلى 10، (1*1= 1)، (2*2=4)، (3*3)=9، (4*4=16)، (5*5=25)، (6*6=36)، (7*7=49).

الجذر التربيعي للعدد 49 هو 7.[٣]

إيجاد الجذر التربيعي للعدد 81

بطريقة التحليل للعوامل الأولية:[٤]ومن العوامل (3*3) (3*3) ، وبأخذ رقم عن كل زوج، (3*3= 9) ، فالجذر التربيعي للعدد 81 هو 9.[٤]

إيجاد الجذر التربيعي للعدد 10

بطريقة التحليل للعوامل الأولية:[٤]ومن العوامل الأولية يتضح أنّ العدد 10 ليس مربعًا كاملًا، وعليه فإنه وباستخدام الآلة الحاسبة يتضح أن الجذر التربيعي له عدد عشري وقيمته 3.162.[٦]

إيجاد الجذر التربيعي للعدد 225

بطريقة القسمة الطويلة:[٥][٧]

225	2
–	1
2
25 0	5
25	5
0 0 0
الجذر التربيعي	15

إيجاد مجموع الجذر التربيعي للعددين 4 ، 8

بطريقة التخمين فالجذر التربيعي للعدد 4 هو 2،[٣] وبالتخمين ومعرفة عدم وجود جذر كامل للعدد 8، وباستخدام الحاسبة فإن جذرها يساوي 2.828،[٦] ومجموع الجذر التربيعي لكليهما يساوي 4.828.

ما الجذر التربيعي للعدد 11025 بالتحليل للعوامل الأولية.

• تحليل العدد 11025 للعوامل الأولية:[٤]

11025	2
3675	2
1225	5
245	5
49	7
7	7
1

• العدد 11025 = 2 * 2 *5 * 5 * 7 * 7 .
• الجذر التربيعي 11025 = 2 * 5 * 7 = 105.

المراجع[+]

1. ↑ The Editors of Encyclopaedia Britannica, “Square root”, Britannica, Retrieved 2/7/2021. Edited.
2. ^ أ ب “Squares and Square Roots”, MATHISFUN, Retrieved 2/7/2021. Edited.
3. ^ أ ب ت ث ج ح “Square Root”, BYJU’S, Retrieved 2/7/2021. Edited.
4. ^ أ ب ت ث ج ح “Square Root Prime Factorization”, Vedantu, Retrieved 2/7/2021. Edited.
5. ^ أ ب ت “Square Root of a Perfect Square by Using the Long Division Method”, Math-Only-Math.com, Retrieved 2/7/2021. Edited.
6. ^ أ ب “Common Square Roots”, infoplease, Retrieved 2/7/2021. Edited.
7. ↑ “Square Root of 225”, CUEMATH, Retrieved 2/7/2021. Edited.