ما هو المضاعف المشترك الأصغر

مفهوم المضاعف المشترك الأصغر

المضاعف المشترك الأصغر (بالإنجليزية: Least Common Multiple) ويُطلق عليه اختصارًا رمز (LCM) أو (م.م.أ)، ولأي رقمين يكون العامل المشترك الأصغر أو الأدنى هو أصغر رقم من مضاعفات الرقمين، يقبل القسمة على كلا الرقمين؛ فمضاعفات الأعداد بشكل عام هي الأعداد التي تقبل القسمة على العدد ويكون باقي القسمة مساويًا لـ0، ويتميّز المضاعف المشترك الأصغر بعدد من الخصائص، من أشهرها ما يأتي:[١][٢]

• المضاعف المشترك الأصغر لأي مجموعة من الأرقام يقبل القسمة على العامل المشترك الأكبر بينها.
• المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأعداد يكون أكبر من أو يساوي كل عنصر من عناصرها، ولا يُمكن أن يقل عن أي عدد فيها.
• إذا كان الرقمين أحدهما أحد أضعاف الآخر، يكون الأكبر بينهما هو المضاعف المشترك الأصغر.[٣]
• المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأعداد الأوليّة لا يُمكن أن يساوي واحد.[٤]

طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

يُحسب المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأرقام بعدد من الطرق ويُمكن استخدام أي واحدة منها حسب الأنسب، فيما يلي توضيح لطريقة تطبيق كلّ منها:

باستخدام المضاعفات

يُستخدم عادةً الجدول لتسهيل تطبيق هذه الطريقة بشكل منظّم، ويُمكن حلّها كما يلي:[٥]

• يُدرج جدول بصفّين أو أكثر، حسب عدد الأرقام المُراد إيجاد العامل المشترك الأصغر لها.
• البدء بكتابة المضاعفات لكل رقم مُعطى بالترتيب؛ فيُضرب بالعدد 1، ثمّ 2، ثمّ 3، وهكذا.
• يكون المضاعف المشترك الأصغر أول رقم مشترك بين المضاعفات وأصغرها بالطبع.

باستخدام العوامل الأولية

يُمكن استخدام طريقة التحليل إلى العوامل الأولية في إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين أو أكثر كما يأتي:[٥]

• تحليل الأرقام المُعطاة إلى عواملها الأوليّة بطريقة الشجرة أو غيرها من الطرق المعروفة.
• ملاحظة أنّ الفرع الأخير لكل شجرة يحتوي على عوامل أوليّة.
• كتابة كل عدد على شكل ناتج ضرب العوامل الأولية التي نتج عنها بشكل أفقي.
• كتابة أزواج العوامل الأولية المتطابقة بين الأعداد المُراد إيجاد العامل المشترك الأصغر لها.
• ضرب الأعداد الأولية الموجودة في الأزواج المتطابقة جميعها لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

باستخدام القسمة

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر يُمكن استخدام طريقة القسمة المتكررة باتّباع الخطوات الآتية:[٦]

كتابة الأعداد المُعطاة أفقيًّا بحيث يفصل بين كلّ منها فاصلة.

• البحث عن عامل أولي (عدد أولي) يُمكن قسمة كلا العددين عليه دون باقي.
• قسمة الأعداد المُعطاة على العامل الأولي وكتابة النواتج بشكل رأسي تحت كل عدد.
• كتابة الرقم في الصف التالي كما هو إذا لم يُقسم تمامًا.
• تكرار الخطوتين السابقتين إلى أن يُحصل على جميع الأعداد الأولية المشتركة فقط في الصف الأخير.
• إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية التي استُخدمت في عمليات القسمة المتكرّرة السابقة جميعها، والأعداد الأوليّة المشتركة في الصف الأخير.
• يكون المضاعف المشترك الأصغر هو ناتج ضرب العوامل الأولية في الخطوة السابقة.

أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

فيما يلي بعض الأمثلة التي توضّح طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر:

إيجاد أصغر مضاعف مشترك للعددين 2 و 10

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 10 بطريقة القسمة المتكرّرة.[٧]

الحل:

يُمكن استخدام طريقة القسمة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر كالآتي:

• كتابة العددين أفقيًّا بحيث يُفصل بين كل منهما بفاصلة: 2، 10 –> يُقسم على العامل الأولي (2) حيث يُمكن قسمة كلا العددين عليه.
• حاصل قسمة كل منهما على (2): 1، 5 –> يُقسم على العدد الأولي (5)، حيث يُمكن قسمة العدد 5 عليه.
• حاصل قسمة كل منهما على (5) في حال عدم وجود باقي فقط: 1 ، 1 –> يُتوقف عند ظهور العدد (1) فقط في الصف.
• حاصل ضرب العوامل الأولية التي قُسِم عليها: 2×5= 10.

إذن، المُضاعف المشترك الأصغر للعددين 2، 10 هو 10.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 16

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12، 16 بطريقة المضاعفات.[٨]

الحل:

• تُكتب مضاعفات كل من العددين كالآتي:
  • 12: 12، 24، 36، 48، 60، 72.
  • 16: 16، 32، 48، 64، 80.
• أول عدد مشترك من مضاعفات الـ 12، 16 كان: 48.
• المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12،16 هو 48.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 36 و 48

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 36، 48 بطريقة العوامل الأولية.[٥]

الحل:

• تُكتب العوامل الأولية لكلا العددين بعد تحليلهما بطريقة من الطرق المعروفة، كالآتي:
  • 36: 3 × 3 ×2 × 2
  • 48: 3 × 2 × 2 × 2 × 2
  • 36: 3 × 3 × 2 × 2
• 48: 3 × 2× 2 × 2 × 2
  • الأزواج المتشابهة هي: (3،3) ،(2،2)، (2،2).
• تُضرب العوامل الأولية الواردة في الأزواج المتشابهة جميعها: 3×3×2×2×2×2 = 144.
• يكون المضاعف المشترك الأصغر للعددين 36، 48 هو 144.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و 20

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12، 20 بطريقة المضاعفات:[٩]

الحل:

• تُكتب مضاعفات كل من العددين كالآتي:
  • 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.
  • 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180.
• يُوجد أول عدد مشترك من مضاعفات الـ 12، 20، وهو60
• يكون المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12، 20 هو 60.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 5

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2، 5.[١٠]

الحل:

بما أنّ العددين المعطَيين أوليين يكون المضاعف المشترك الأصغر مباشرةً هو ناتج ضربهما، ولذا فإن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و5 = 2*5= 10.

العامل المشترك الأصغر أو الأدنى هو أصغر رقم من مضاعفات الرقمين، يقبل القسمة على كلا الرقمين، ويتميّز بعدد من الخصائص، كما يمكن حساب قيمته بعدة طرق مثل، استخدام المضاعفات، أو استخدام العوامل الأولية، أو استخدام القسمة.

المراجع[+]

1. ↑ “Least Common Multiple”, cuemath, Retrieved 21/06/2021. Edited.
2. ↑ Patrick Corn, Ashley Toh, Jeremy Bansil, and others , “Lowest Common Multiple”, brilliant, Retrieved 21/06/2021. Edited.
3. ↑ “Least Common Multiple”, splashlearn, Retrieved 21/06/2021. Edited.
4. ↑ “Properties of L.C.M.”, math-only-math, Retrieved 21/06/2021. Edited.
5. ↑ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير صحيح؛لا نص تم توفيره للمراجع المسماة 3d4fa202_bb07_4bbb_8990_65b35c69c239
6. ↑ “To Find Lowest Common Multiple by using Division Method”, math-only-math, Retrieved 21/06/2021. Edited.
7. ↑ “What is The LCM of 2 and 10”, cuemath, Retrieved 21/06/2021. Edited.
8. ↑ “What is the LCM of 12 and 16?”, cuemath, Retrieved 21/06/2021. Edited.
9. ↑ “Least Common Multiple (LCM)”, mnstate, Retrieved 21/06/2021. Edited.
10. ↑ George C (03/02/2017), “What is the least common multiple of 2 and 5  ?”, socratic, Retrieved 21/06/2021. Edited.