قانون المتوسط الحسابي

ما هو قانون المتوسط الحسابي؟

المتوسط الحسابي (Mean Average)، أحد أهم وأشهر مقاييس النّزعة المركزية المستخدمَة في الإحصاء، ويمكن من خلاله تحديد النقطة التي تميل النقاط إلى التجمع عندها معًا، وهو عبارة عن مجموع القيم المعطاة مقسومًا على عددها،[١] ويمكن حساب المتوسط الحسابي كما يلي:[١]

المتوسط الحسابي = مجموع القيم / عددها

وبالرموز:

م = (س1 + س2 + س3 + … + س ن ) / ن

حيث إن:

م: المتوسّط الحسابي.

س: قيم معطاة.

ن: عدد القيم.

وبشكل آخر:

M = ΣX/N

حيث إن:

M: المتوسط الحسابي.

ΣX: مجموع القيم المعطاة.

N: عدد القيم.

من خلال القوانين السابقة يمكن إيجاد المتوسط الحسابي، وهو نقطة مُمثّلة لباقي النقاط، ويمكن من خلاله فهم البيانات المعطاة بشكل عام،حيث نقسم مجموع القيم المعطاة على عددها.

كيف يتم حساب المتوسط الحسابي؟

أما عن كيفية حساب المتوسط الحسابي فيكون من خلال الخطوات الآتية: [٢]

• نقوم بإيجاد مجموع القيم المُعطاة جميعها.
• نقسم المجموع الذي قمنا بإيجاده على عدد القيم.
• يكون ناتِج القسمة هو المتوسط الحسابي.

يمكن حساب المتوسط الحسابي بتطبيق القانون التالي: المتوسط الحسابي = مجموع القيم / عددها.

أمثلة على حساب المتوسط الحسابي

لا بدّ من حلّ مسائل على المتوسط الحسابي لفهم أدق، وتاليًا نذكر الأمثلة مع حلولها:

مثال 1

احسب المتوسّط الحسابي لمجموعة القيم الآتية {7، 2، 8، 6، 7}. [٢]

الحل:

• مجموع القيم = 7+2+8+6+7 = 30
• عدد القيم = 5
• إذًا المتوسط الحسابي = 30/5 = 6

مثال 2إذا كانت نسب عوائد الأسهم خلال السنوات الخمس الماضية هي: 20٪، 6٪، -10٪، -1٪، و6٪ فما هو المتوسط الحسابي للعوائد. [٣]

الحل:

• مجموع القيم = 21 (تجمع القيم بإشاراتها).
• عدد القيم= 5
• يكون المتوسط الحسابي = 4.2/ 5 = 4.2
• متوسط عوائد الأسهم هو 4.2%

مثال 3 إذا كان لديك مجموعتين أ: {-5، -3، -2، 3}، ب: {-1، 0، 2، 4}، فما هو المتوسط الحسابي لكل مجموعة منهما؟[٤]

الحل:

• نجمع القيم لكل من المجموعتين (بإشاراتها)، فيكون مجموع القيم للمجموعة أ= -7 وللمجموعة ب= 5
• نقسم مجموع كل منهما على عدد القيم فيهما 4، فيكون المتوسط الحسابي للمجموعة أ= -1.75 وللمجموعة ب= 1.25

مثال 4

إذا كانت أعمار طلاب الإحصاء في ربيع 1997 م كما يلي:[٥]

الأعمار	التكرار(ت)
17-21	12
22-26	15
27-31	7
32-36	4
37-41	2

فما هو المتوسط الحسابي لأعمار الطلاب؟

الحل:

• نقوم أولًا بإيجاد مراكز الفئات.

مركِز الفئة = (الحدّ الأعلى للفئة + الحدّ الأدنى للفئة) / 2

كما يلي للفئة الأولى: (21+17) / 2 = 19، وهكذا…

الأعمار	التكرار (ت)	مركز الفئة (ز)
17-21	12	19
22-26	15	24
27-31	7	29
32-36	4	34
37-41	2	39

• نقوم بإيجاد حاصل ضرب (التكرار * مركِز الفئة) لكلّ فئةٍ من الفئات.

الأعمار	التكرار	مركز الفئة (ز)	ت*ز
17-21	12	19	228
22-26	15	24	360
27-31	7	29	203
32-36	4	34	136
37-41	2	39	78

• نجد عدد القيم الكُلّي بجَمع القيم في عمود التّكرار، فتكون 12+15+7+4+2=40
• نقوم بجمع القيم في العمود الأخير ( ت*ز) فينتُج: 1005
• لإيجاد المتوسط الحسابي نقسِم مجموع قيم عمود(ت*ز) على عدد القيم الكلّي.
• فيكون المتوسط الحسابي = 1005/ 40 = (25.125)
• أي أنّ المتوسط الحسابي لأعمار الطلاب في الإحصاء (25.125)

من خلال الأمثلة السابقة يمكن حساب المتوسط الحسابي بشكل سهل وبسيط اعتمادًا على الخطوات، فنجمع القيم أولًا مع الانتباه إلى الإشارات ثم نقسمها على عددها.

المراجع[+]

1. ^ أ ب “Mean, The”، encyclopedia. Edited.
2. ^ أ ب “Calculating the mean”, khanacademy. Edited.
3. ↑ “Arithmetic Mean”, investopedia. Edited.
4. ↑ “Practical Methods and Workarounds for Calculating Geometric Mean”, buzzardsbay. Edited.
5. ↑ “Estimating the Mean From a Frequency Distribution”, old.cos. Edited.