طرق حساب مساحة الدائرة

حساب المساحة بالاعتماد على نصف القطر

يُمكن حساب مساحة الدائرة إذا عُلِمَ طول نصف قطر الدائرة من خلال استخدام قانون المساحة الآتي:[١]

مساحة الدائرة = π × نق²

ويتمُّ الحصول على نتيجة الحساب بوحدة السنتيمتر مربع أو متر مربع وهكذا، مثال على ذلك؛ إيجاد حساب مساحة دائرة إذا كان نصف قطرها يُساوي 6 سم:[١]

1. التعويض المباشر في القانون: مساحة الدائرة = π × (6) ².
2. ومنها مساحة الدائرة = 36 π سم².
3. أو بتعويض قيمة π: 3.14 .[٢]
4. ومنها مساحة الدائرة = 113.04 سم².

حساب المساحة بالاعتماد على القطر

ويُمكن أيضًا حساب المساحة بالاعتماد على قيمة القطر، حيثُ إنَّ طول القطر يُساوي ضعف طول نصف القطر، ومن خلال تقسيم طول القطر على العدد 2 يُمكن من إيجاد قيمة نصف القطر، وبذلك يتمُّ استخدام القانون الأساسي لحساب المساحة، مثال على ذلك: إيجاد حساب مساحة دائرة إذا كان طول قطرها 20 إنش:[١]

1. إيجاد نصف القطر = ق / 2 ومنها:
   1. نق = 20 / 2 = 10 إنش.
2. التعويض في القانون: مساحة الدائرة = π × نق²
   1. مساحة الدائرة = π × (10) ²، ومنها مساحة الدائرة = 100 π إنش².

حساب مساحة الدائرة بالاعتماد على محيط الدائرة

يُعدُّ استخدام محيط الدائرة من الطرق المستخدمة أيضًا في عملية حساب مساحة الدائرة، وذلك من خلال استخدام قانون المحيط مباشرةً دون الحاجة لمعرفة طول نصف القطر، حيثُ إنَّ قانون محيط الدائرة = π × ق، ويُمكن اشتقاق قانون حساب المساحة اعتمادًا على المحيط من خلال الخطوات الآتية:[١]

1. طول القطر يُساوي ضعف طول نصف القطر، أي أنَّ: ق = 2 نق.
2. يتم تعويض قيمة القطر في قانون المحيط كما يلي: محيط الدائرة = π × 2 نق.
3. بتقسيم طرفي المعادلة على 2 π، ينتج عنها: نق = محيط الدائرة / 2π.
4. يتمُّ تعويض قيمة نق في قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = π × نق²، ومنها مساحة الدائرة = π × (محيط الدائرة / 2 π) ².
5. بتربيع الكسر تُصبح مساحة الدائرة = π × (محيط الدائرة² / 4 π²).
6. اختصار π من البسط والمقام، ومنها مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / 4 π.

مثال: إيجاد مساحة الدائرة إذا كان محيط الدائرة يُساوي 42 سم.

الحل:

1. مساحة الدائرة = محيط الدائرة² / 4 π، ومنها مساحة الدائرة = (42) ² / 4 π.
2. مساحة الدائرة = 1764 / 4 π، إذن مساحة الدائرة = 441 / π سم².

حساب مساحة الدائرة باستخدام التكامل

يُمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام التكامل، على النحو الآتي:[٣]

مساحة الدائرة = تكامل معادلة الدائرة عندما تكون ص موضوع القانون نسبة إلى س

وبالرموز:

م = ∫ص. دس

حيث أنّ:

• م: مساحة الدائرة.
• ∫ : إشارة التكامل.
• ص: معادلة الدائرة عندما ص تكن موضوع القانون بدلالة س.
• دس: مشتقة معادلة الدائرة نسبة إلى س.

بافتراض أن معادلة الدائرة (س² + ص² = 25)، يمكن حساب مساحتها بالتكامل على النحو التالي:

1. كتابة قانون مساحة الدائرة، المساحة = ∫ص .دس
2. تحويل معادلة الدائرة ليصبح ص موضوع القانون فيها، ص = (25 – س²) ^ ½
3. تعويض قيمة ص في قانون مساحة الدائرة، المساحة = ∫ (25 – س²) ^ ½ .دس
4. ترتيب معادلة التكامل، المساحة = ∫ 25 × ((1 – (س²/ 25)) ^ ½ .دس
5. تعويض قيمة س بالتعبير المثلثي، س = نق جا ع
6. اشتقاق قيمة س، س = نق جاع
   1. دس / دع = نق جتاع
   2. دس = نق جتاع دع
7. حساب قيمة التكامل عندما يكون مقدار س = 0، عندها (جا ع = 0، ع = 0)، لكن عندما يكون مقدار س = نق، عندها (جاع = 1، ع = π/2).
8. إجراء التكامل عندما تكون حدود التكامل ع = 0، ع = π/2، نق = 5، وأن (1- جا ع²) = جتا ع²،وبالتعويض في معادلة التكامل:
   1. ∫ (25 (1 – (س² / 25)) ^ ½ .دس
   2. ∫ 5 ((1 – جا ع²)^ ½ × (5 جتا ع دع))
   3. 25 ∫ جتا ع² .دع
9. استخدام الصيغة المثلثية: جتاع² = (جتا2ع +1) / 2، ثم التعويض في التكامل، كما هو موضح أدناه:
   1. المساحة = 25∫ جتاع² .دع
   2. المساحة = 25 ∫(جتا2ع + 1)/ 2 .دع
10. حل التكامل عندما حدود التكامل ع = 0، ع = π/2، والناتج سيساوي مساحة الدائرة مقسومة على 4:
    1. [25(1 / 2 × (جا2ع + ع)]π/2
    2. 25 / 4 × π = مساحة الدائرة / 4
11. ناتج حساب مساحة الدائرة = 25π

يمكن حساب مساحة الدائرة بأكثر من طريقة، كحساب مساحتها بالاعتماد على نصف قطرها أو قطرها أو محيطها، كما يمكن حسابها عن طريق التكامل.

المراجع[+]

1. ^ أ ب ت ث “How to Calculate the Area of a Circle”, m.wikihow.com, Retrieved 10/2/2020. Edited.
2. ↑ “Pi MATHEMATICS”, www.britannica.com, Retrieved 10/2/2020. Edited.
3. ↑ “Formula for Area Bounded by a Circle/Proof”, wikia, Retrieved 17/9/2021. Edited.