أنواع المصفوفات في الرياضيات

أنواع المصفوفات في الرياضيات

ما هي مصفوفة الوحدة؟

تعرف المصفوفة Matrix بأنها مجموعة من الأرقام المرتبة في صفوف وأعمدة، وتسمى الأرقام الموجودة داخل المصفوفات بالعناصر أو المدخلات، في حين تسمى المصفوفة بأكملها اعتمادًا على عدد الصفوف(م) والأعمدة (ن) فيها، فيكون اسمها م × ن، وتشمل استخدامات المصفوفات في الرياضيات والاقتصاد والهندسة والفيزياء ومختلف فروع الإحصاء.[١]

المصفوفة المربعة Square Matrix

تعرف المصفوفات المربعة باحتوائها على نفس العدد من الصفوف والأعمدة، والتي تستخدم في التحويلات التابعة للرسم الحاسوبي[٢]، ويمكن استخراج المحدد Determinant لهذا النوع من المصفوفات، كما يمكن حساب مقلوبها Inverse إذا لم يكن محددها يساوي 0، بحيث تسمى المصفوفة التي لا مقلوب لها بالمصفوفة المفردة[٣]، وتكون رتبة المصفوفة المربعة مساوية لعدد صفوفها أو أعمدتها[٤]، وتشمل المصفوفات المربعة عدة أنواع، منها؛ المصفوفات القطرية والمتماثلة والقياسية وغيرها[٥]، ومن الأمثلة على المصفوفات المربعة ما يأتي:

• مثال 1: مصفوفة مربعة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.[٢]

3 4 5]

4 0 -4

[3 10 7

• مثال 2: مصفوفة مربعة مكونة من صفين وعمودين.[٦]

0    5]

[-2 9

المصفوفة المستطيلة Rectangular Matrix

تتميز المصفوفة المستطيلة بكون عدد صفوفها مختلفًا عن عدد أعمدتها[٧]، بحيث تكون رتبتها مساوية لـ(عدد الصفوف × عدد الأعمدة)، فتكون المصفوفة ذات الرتبة 4 × 3 مكونة من 4 صفوف و3 أعمدة[٤]، ولا تمتلك هذه المصفوفات محددًا لها[٨]، ولكن تمتلك مقلوبًا من جهة واحدة فقط[٩]، ومن الأمثلة على المصفوفات المستطيلة ما يأتي:

• مثال 1: مصفوفة مستطيلة مكونة من 4 صفوف و3 أعمدة.[٤]

0     -1     2]

-2 4 3

6     5     -3

[7    -5     -4

• مثال 2: مصفوفة مستطيلة مكونة من 3 صفوف و4 أعمدة.[١٠]

14 11 8 5]

16 13 10 7

[18 18 12 9

المصفوفة القطرية Diagonal Matrix

تعرف المصفوفات القطرية بكونها مصفوفات مربعة، والتي تكون جميع عناصرها غير الواقعة على القطر تساوي صفر، بحيث يمتد قطرها من أقصى يسار المصفوفة إلى أدنى يمينها، وتكون هذه المصفوفة القطرية مقلوبةً فقط إذا كانت جميع قيمها القطرية لا تساوي صفر[١١]، ويكون محدد هذه المصفوفة يساوي ناتج ضرب مدخلات القطر[١٢]، ومن الأمثلة على المصفوفات القطرية ما يأتي:[١١]

• مثال 1: مصفوفة قطرية مكونة من 4 صفوف و4 أعمدة.

0 0 0 0.5]

0 0 3 0

0 0 0 0

[4 0 0 0

• مثال 2: مصفوفة قطرية مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

0 0 1]

0 1 0

[1 0 0

• مثال 3: مصفوفة قطرية مكونة من 4 صفوف و4 أعمدة.

0      0      0      1/8]

0      0      27     0

0     125    0      0

[-1 0 0 0

المصفوفة القياسية Scalar Matrix

تعد المصفوفات القياسية نوعًا خاص ًا من المصفوفات القطرية، بحيث تكون جميع مدخلاتها التي لا تقع على القطر تساوي صفر، في حين تكون جميع المدخلات الواقعة على قطرها الممتد من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين متساوية في القيمة، وتعد مصفوفة الوحدة من الأمثلة على هذا النوع من المصفوفات[١٣]، وتسمى هذه المصفوفة بهذا الاسم لأن حاصل ضربها بالمصفوفات الأخرى يساوي حاصل ضرب العنصر العددي المكون لها بتلك المصفوفات[١٤]، ومن الأمثلة على المصفوفات القياسية ما يأتي:

• مثال 1: مصفوفة قياسية مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.[١٥]

0      0     -7]

0     -7      0

[-7 0 0

• مثال 2: مصفوفة قياسية مكونة من 4 صفوف و4 أعمدة.[١٤]

0 0 0 3]

0 0 3 0

0 3 0 0

[3 0 0 0

المصفوفة الصفرية Null Matrix

تعرف المصفوفة الصفرية بأنها المصفوفة التي تكون جميع مدخلاتها بدون استثناء تساوي 0، بحيث يكون ناتج جمع هذه المصفوفة مع مصفوفة أخرى مساوية لتلك المصفوفة، كما أنها تنتج من ناتج جمع المصفوفة وسالبها، وتنتج أيضًا من ضرب أي مصفوفة بالعدد 0، بحيث تمتلك المصفوفة الناتجة نفس عدد صفوف وأعمدة المصفوفة الأولية، ومن الأمثلة على المصفوفة الصفرية ما يأتي:[١٦]

• مثال 1: مصفوفة صفرية مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

0 0 0]

0 0 0

[0 0 0

• مثال 2: مصفوفة صفرية مكونة من صفين و4 أعمدة.

0 0 0 0]

[0 0 0 0

• مثال 3: مصفوفة صفرية مكونة من صفين وعمودين.

0 0]

[0 0

مصفوفة الوحدة Identity Matrix

تعرف مصفوفة الوحدة أو مصفوفة الهوية بكونها مصفوفة مربعة، بحيث تكون جميع مدخلاتها التي لا تقع على القطر تساوي صفر، بينما تكون جميع البيانات الواقعة على قطرها الممتد من أقصى اليسار إلى أدني اليمين مساوية للعدد 1[١٧]، ومن الجدير بالذكر أن ناتج ضرب أي مصفوفة بمصفوفة الوحدة يساوي المصفوفة ذاتها[١٨]، ومن الأمثلة على مصفوفات الوحدة ما يأتي:[١٨]

• مثال 1: مصفوفة وحدة مكونة من صفين وعمودين.

0 1 ]

[1 0

• مثال 2: مصفوفة وحدة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

0 0 1]

0 1 0

[1 0 0

مصفوفة الصف الواحد Row Vector

تعرف مصفوفة الصف الواحد بكونها مصفوفة مكونة من صف واحد فقط، بحيث تكون رتبة هذه المصفوفة دومًا 1 × عدد الأعمدة[١٥]، ومن الأمثلة على مصفوفة الصف الواحد:[١٥]

• مثال1: مصفوفة صف واحد مكونة من 4 أعمدة.

[5 4 2 1]

• مثال2: مصفوفة صف واحد مكونة من 3 أعمدة.

[-17 -21 -4]

مصفوفة العمود الواحد Column Vector

تعرف مصفوفة العمود الواحد بكونها مصفوفة مكونة من عمود واحد فقط، بحيث تكون رتبة هذه المصفوفة دومًا عدد الصفوف × 1[١٥]، ومن الأمثلة على مصفوفة العمود الواحد ما يأتي:[١٥]

• مثال1: مصفوفة عمود واحد مكونة من 3 صفوف.

 2]

 7

[-17

• مثال2: مصفوفة عمود واحد مكونة من 5 صفوف.

-1]

-18

-19

 9

[ 13

المصفوفة المثلثية العليا Upper Triangular Matrix

تعرف المصفوفة المثلثية العليا بأنها أية مصفوفة مربعة تكون مدخلاتها تحت القطر الأساسي تساوي صفر، في حين تكون مدخلات القطر الأساسي وما فوقه مساوية لأي قيمة، ودائمًا ما يكون حاصل ضرب مصفوفتين مثلثتين علويتين مصفوفة مثلثية علوية، كما أن مقلوب هذا النوع من المصفوفات ينتج مصفوفة مثلثية عليا أيضًا، وتكون هذه المصفوفات غير منفردة، إذا كانت لا تمتلك أصفارًا في مدخلات قطرها[١٩]، ومن الأمثلة على المصفوفات المثلثية العليا ما يأتي:[٢٠]

• مثال 1: مصفوفة مثلثية عليا مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

1 3 1]

1 5 0

[2 0 0

• مثال 2: مصفوفة مثلثية عليا مكونة من 4 صفوف و4 أعمدة.

0 1 0 2]

1 1 1 0

3 0 0 0

[-1 0 0 0

المصفوفة المثلثية السفلى Lower Triangular Matrix

تعرف المصفوفة المثلثية السفلى بأنها أية مصفوفة مربعة تكون مدخلاتها أعلى القطر الأساسي تساوي صفر، في حين تكون مدخلات القطر الأساسي وما تحته مساوية لأي قيمة، ودائمًا ما يكون حاصل ضرب مصفوفتين مثلثتين سفليتين مصفوفة مثلثية سفلية، كما أن مقلوب هذا النوع من المصفوفات ينتج مصفوفة مثلثية سفلى أيضًا[١٩]، ومن الأمثلة على المصفوفات المثلثية السفلى ما يأتي:

• مثال 1: مصفوفة مثلثية عليا مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.[١٥]

0 0 1]

0 3 2

[2 5 4

• مثال 2: مصفوفة مثلثية عليا مكونة من صفين وعمودين.[٢١]

0 1]

[1 1

المصفوفة المتماثلة Symmetric Matrix

تكون المصفوفات متماثلة إذا كان منقول Transpose المصفوفة يساوي المصفوفة نفسها، مما يعني أن القيمة الموجودة في تقاطع الصف م والعمود ن تساوي القيمة الموجودة في تقاطع الصف ن والعمود م، ودائمًا ما تكون هذه المصفوفات مربعة ويكون مقلوبها متماثلًا أيضًا، كما يكون ناتج جمع أو طرح أو ضرب المصفوفات المتماثلة مصفوفة متماثلة أيضًا، ومن الأمثلة على هذه المصفوفات:[٢٢]

• مثال 1: مصفوفة متماثلة مكونة من صفين وعمودين.

1     15]

[-3 1

• مثال 2: مصفوفة متماثلة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

  57         12      -101]

   23      1001      12

[-10001 23 57

• مثال 3: مصفوفة متماثلة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

-1 1 1]

0     2     1

[ 5 0 -1

المصفوفة المتساوية Equal Matrix

تسمى المصفوفات متساوية إذا كانت رتبتها متساوية؛ أي أن أبعادها متساوية، وكانت عناصرها أو مدخلاتها متساوية أيضًا[٢٣]، ومن الأمثلة على هذا النوع من المصفوفات ما يأتي:

• مثال 1: مصفوفتين متساويتين مكونة من صفين وعمودين.[٢٣]

3     4      =      3     4

-5 1 -5 1

• مثال 2: مصفوفتين متساويتين مكونة من صفين و3 أعمدة.[١٥]

3     6     1              3     6     1

1     2     5      =      1     2     5

المصفوفة المفردة Singular Matrix

تعرف المصفوفات المفردة بأنها المصفوفات المربعة التي لا تملك مقلوبًا، إذ يكون محدد المصفوفة عندها يساوي صفر، حيث إن أي مصفوفة غير مربعة تكون مفردة[٢٤]، وفيما يأتي أمثلة على المصفوفات المفردة:

• مثال 1: مصفوفة مفردة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.[٢٥]

-1 2 1]

7      4      2

[ 1 -4 -2

• مثال 2: مصفوفة مفردة مكونة من 4 صفوف و4 أعمدة.[٢٦]

1     8     2     4]

1    -4     0    -2

0     2     4     1

[-2 6 -1 3

المصفوفة غير مفردة Non-Singular Matrix

تعرف المصفوفات غير مفردة في الرياضيات بأنها المصفوفات المربعة التي تملك مقلوبًا، بحيث يكون محدد المصفوفة عندها لا يساوي صفر، ودائمًا ما يكون ناتج ضرب المصفوفة غير المفردة بمقلوبها يساوي مصفوفة الوحدة[٢٤]، وفيما يأتي أمثلة على المصفوفات الغير مفردة:

• مثال 1: مصفوفة غير مفردة مكونة من صفين وعمودين.[٢٧]

1 -3]

[0 5

• مثال 2: مصفوفة غير مفردة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.[٢٨]

0     -1     2]

-1 2 -1

[ 2 -1 0

المصفوفة الهرميتية Hermitian Matrix

تعرف المصفوفات الهرميتية بكونها مصفوفات مربعة ذات مدخلات مكونة من أعداد مركبة، بحيث تساوي هذه المصفوفة منقولها المرافق، وتكون جميع الأعداد باستثناء “ل” أعدادًا حقيقية، وتعد المصفوفات الهرميتية تعميمًا للمصفوفات المتماثلة الحقيقية[٢٩]، ومن الأمثلة على المصفوفات الهرميتية ما يأتي:[٣٠]

• مثال 1: مصفوفة هرميتية مكونة من صفين وعمودين.

4+8ل 6 ]

[ 9 4-8ل

• مثال2: مصفوفة هرميتية مكونة من 3 صفوف و3أعمدة.

 8        -3+2ل        1]

7-6ل 4 -2-3ل

[ 5 7+6ل 8

• مثال 3: مصفوفة هرميتية مكونة من صفين وعمودين.

5 3]

[8 5

المصفوفة المتعامدة Orthogonal Matrix

تعد المصفوفة المتعامدة إحدى أنواع المصفوفات المربعة، والتي تتميز بكون جميع المتجهات المكونة لها متعامدة على بعضها البعض، ويجب أن يكون هذا مطبقًا على جميع الصفوف والأعمدة، بحيث يكون أي عمودين في هذا النوع من المصفوفات متعامدين، وكذلك الأمر بالنسبة للصفوف، ومن الجدير بالذكر أيضًا أن منقول المصفوفات المتعامدة يكون متعامدًا أيضًا، وفي الجبر يكون متجهين متعامدين إذا كان حاصل ضربهما النقطي مساويًا لصفر[٣١]، ومن الأمثلة على المصفوفات المتعامدة ما يأتي:[٣٢]

• مثال 1: مصفوفة متعامدة مكونة من صفين وعمودين.

-جاθ جتاθ]

[جتاθ جاθ

• مثال 2: مصفوفة متعامدة مكونة من 3 صفوف و3 أعمدة.

-2/3 1/3 2/3]

1/3     -2/3     2/3   

[2/3 2/3 1/3

هنالك أنواع عديدة للمصفوفات في الرياضيات والتي تستخدم في العديد من المجالات كالهندسة والاقتصاد والإحصاء، فهنالك المصفوفات المربعة، المستطيلة، القطرية، القياسية، الصفرية، الوحدة، الصف الواحد، العمود الواحد، المثلثية العليا، المثلثية السفلى، المتماثلة، المتساوية، المفردة، غير مفردة، الهرميتية والمتعامدة.

المراجع[+]

1. ↑ “Matrix”, britannica, Retrieved 19/12/2020. Edited.
2. ^ أ ب “Square Matrix”, programmedlessons, Retrieved 19/12/2020. Edited.
3. ↑ “Matrix Algebra”, uh, Retrieved 19/12/2020. Edited.
4. ^ أ ب ت “Rectangular Matrix”, sciencedirect, Retrieved 19/12/2020. Edited.
5. ↑ “Types of Matrices”, stattrek, Retrieved 19/12/2020. Edited.
6. ↑ “Square Matrix”, sciencedirect, Retrieved 19/12/2020. Edited.
7. ↑ “Types of Matrices”, toppr, Retrieved 19/12/2020. Edited.
8. ↑ “Math 21b: Fact sheet about determinants”, harvard, Retrieved 19/12/2020. Edited.
9. ↑ “Matrices, transposes, and inverses”, hmc, Retrieved 19/12/2020. Edited.
10. ↑ “Matrices”, byjus, Retrieved 19/12/2020. Edited.
11. ^ أ ب “Diagonal Matrices, Upper and Lower Triangular Matrices”, etsu, Retrieved 19/12/2020. Edited.
12. ↑ “DETERMINANTS”, umich, Retrieved 19/12/2020. Edited.
13. ↑ “What is Scalar Matrix?”, byjus, Retrieved 19/12/2020. Edited.
14. ^ أ ب “Matrix”, citizendium, Retrieved 19/12/2020. Edited.
15. ^ أ ب ت ث ج ح خ “Types of Matrices”, byjus, Retrieved 19/12/2020. Edited.
16. ↑ “Intro to zero matrices”, khanacademy, Retrieved 19/12/2020. Edited.
17. ↑ “Identity and Inverse Matrices”, wlc, Retrieved 19/12/2020. Edited.
18. ^ أ ب “6.2 – Operations with Matrices”، richland، اطّلع عليه بتاريخ 19/12/2020. Edited.
19. ^ أ ب “1.6 Additional Properties of Triangular and Diagonal Matrices”, kennesaw, Retrieved 19/12/2020. Edited.
20. ↑ “Diagonal, Triangular, and Symmetric Matrices”, lafayette, Retrieved 19/12/2020. Edited.
21. ↑ “Triangular Feedback Matrices”, stanford, Retrieved 19/12/2020. Edited.
22. ↑ “Symmetric Matrix & Skew Symmetric Matrix”, byjus, Retrieved 19/12/2020. Edited.
23. ^ أ ب “What is equal Matrix?”, byjus, Retrieved 19/12/2020. Edited.
24. ^ أ ب “Matrix Inverse”, stattrek, Retrieved 19/12/2020. Edited.
25. ↑ “3.6The Invertible Matrix Theorem¶ permalink”, gatech, Retrieved 19/12/2020. Edited.
26. ↑ “Singular Matrix”, sciencedirect, Retrieved 19/12/2020. Edited.
27. ↑ ” Invertible Matrix”, deepai, Retrieved 19/12/2020. Edited.
28. ↑ “Math 2270 -Lecture 9: Inverse Matrices”, utah, Retrieved 19/12/2020. Edited.
29. ↑ “15.8: Hermitian Matrices”, libretexts, Retrieved 19/12/2020. Edited.
30. ↑ “Symmetric and Hermitian Matrices”, tufts, Retrieved 19/12/2020. Edited.
31. ↑ “What is an Orthogonal Matrix?”, deepai, Retrieved 19/12/2020. Edited.
32. ↑ “15.6: Orthogonal Matrices”, libretexts, Retrieved 19/12/2020. Edited.